CHAPITRE 15

(1)

CHAPITRE 15

CONTINUITÉ

I Continuité en un point et sur un intervalle . . . . 3

I.1 Continuité en un point . . . . 3

I.2 Opérations sur les fonctions continues en un point . . . . 4

I.3 Prolongement par continuité. . . . 4

I.4 Continuité sur un intervalle . . . . 5

I.5 Application aux suites définies par récurrences . . . . 6

II Théorèmes fondamentaux . . . . 7

II.1 Image d’un intervalle par une fonction continue . . . . 7

II.2 Image d’un segment par une application continue. . . . 10

II.3 Continuité et injectivité. . . . 11

III Fonctions complexes . . . . 13

(2)

Extrait du programme

CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES

b) Continuité en un point

Continuité, prolongement par continuité en un point. La continuité de f au point a de I est définie par la relation f(x)_x−→

→af(a).

Continuité à gauche, à droite.

Opérations sur les fonctions continues en un point : combinaison linéaire, produit, quotient, composition.

c) Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle.

Théorème des valeurs intermédiaires. Principe de démonstration par dichotomie.

Image d’un intervalle par une fonction continue.

Corollaire : cas d’une fonction continue strictement monotone.

Théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes.

La démonstration est hors programme.

Image d’un segment par une fonction continue.

Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle.

La démonstration n’est pas exigible.

d) Fonctions complexes

Brève extension des définitions et résultats généraux sur les limites et la continuité.

Caractérisation de la limite et de la continuité à l’aide des parties réelle et imaginaire.

(3)

CONTINUITÉ I. CONTINUITÉ EN UN POINT ET SUR UN INTERVALLE

I. Continuité en un point et sur un intervalle

I.1. Continuité en un point

Définition 15.1 – Continuité

Soitf :I→Rune fonction eta∈I. On dit quef estcontinue en alorsquef(x)−−−→

x→a f(a).

Autrement dit,

∀ε>0,∃η>0,∀x∈I,£

|x−a| Éη⇒ |f(x)−f(a)| Éε¤ . Lorsquef n’est pas continue ena, on dit qu’elle estdiscontinue en a.

La fonction partie entière est continue en tout point deR^\Zet est discontinue en tout point deZ^. En effet, sia∈R^\Z^{, alors}^f est constante égale àaau voisinage dea, donc,bxc −−−→_x

→a bac. De plus, sia∈Z^{, alors}

x→alim⁻bxc =a−1,^a= lim

x→a⁺bxc. Exemple 15.1

Définition 15.2 – Continuité à droite, continuité à gauche

Soitf :I→R^et^a∈I.

Ï On dit que f estcontinue à gauche en alorsque f admet f(a) pour limite à gauche ena.

Autrement dit,

∀ε>0,∃η>0,∀x∈I,£

a−ηÉxÉa⇒ |f(x)−f(a)| Éε¤ . Ï On dit que f estcontinue à droite en alorsque f admet f(a) pour limite à droite ena.

Autrement dit,

∀ε>0,∃η>0,∀x∈I,£

aÉxÉa+η⇒ |f(x)−f(a)| Éε¤ . De ces deux définitions, on déduit immédiatement le résultat suivant.

Proposition 15.1

Soitf :I→Rune fonction eta∈I.

On a l’équivalence : f est continue enasi, et seulement si, f est continue à droite et à gauche ena.

La continuité de f en adonne des informations locales sur la fonction f. Par exemple, lorsque f(a)>0 et f est continue ena, on a f(x)−−−→

x→a f(a)>0 et on sait alors que f est strictement positive au voisinage dea.

Remarque 15.1

Théorème 15.1 – Caractérisation séquentielle de la continuité Soientf :I→R^et^a∈I

Les propositions suivantes sont équivalentes : Ï f est continue ena.

Ï Pour toute suite (u_n)_n_∈_N à valeurs dans I, si (u_n)_n_∈_N admet a pour limite, alors la suite¡ f(u_n)¢

n∈N

admet pour limite f(a).

(4)

I. CONTINUITÉ EN UN POINT ET SUR UN INTERVALLE CONTINUITÉ

Démonstration

Utiliser la caractérisation séquentielle de la limite.

I.2. Opérations sur les fonctions continues en un point

En utilisant les opérations sur les limites, on déduit les résultats suivants.

Théorème 15.2

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions,a∈Iet (_λ,_µ)∈R²^. Si f etgsont continues ena, alors,

Ï λ.f+µ.gest continue ena.

Ï f gest continue ena.

Ï |f|est continue ena.

Ï si de plusg(a),0, la fonction 1

g est bien définie au voisinage deaet est continue ena.

Ï si de plusg(a),0, la fonction f

g est bien définie au voisinage deaet est continue ena.

En particulier,f etgsont continues ena, alors min(f,g)= f+g− |f−g|

2 , max(f,g)= f+g+ |f−g|

2 ,f⁻=max(−f, 0) et f⁺=max(f, 0) sont continues ena.

Remarque 15.2

Théorème 15.3

Soientf :I→Rune fonction eta∈I. Soitgune fonction définies sur un intervalle JdeR. On suppose que f(I)⊂J.

Si f est continue enaetgest continue enf(a), alorsg◦f est continue ena.

I.3. Prolongement par continuité

Théorème 15.4

Soita∈I etf :I\ {a}→Rune fonction.

On suppose quef possède une limite finie_`(c’est-à-dire f(x)−−−→

x→a `).

La fonction ˜f: I → R x 7→

½ f(x) six∈I\ {a}

` six=a.

est continue enI.

Démonstration

Soitε>0.

Par hypothèse, il existeη>0 tel que, pour toutx∈I, si 0< |x−a| Éη, alors|f(x)−`| Éε. Soitx∈I. On suppose que|x−a| Éη.

• Cas 1 :x,^a.

On ax∈I\ {a}. D’où,f(x)=f˜(x). De plus, 0< |x−a| Éηet`=f˜(a). Donc,¯

¯f˜(x)−f˜(a)¯

¯Éε.

• Cas 2 :x=a. On a`=f˜(a), donc,¯

¯f˜(x)−f˜(a)¯

¯=0Éε. Donc, ˜f admet`pour limite ena.

(5)

CONTINUITÉ I. CONTINUITÉ EN UN POINT ET SUR UN INTERVALLE

Définition 15.3 – Prolongement par continuité Soita∈I etf :I\ {a}→Rune fonction.

Lorsquef possède un limite finie_`, on dit que f estprolongeable par continuité en a.

De plus, la fonction ˜f : I → R x 7→

½ x six∈I\ {a}

` six=a.

est appeléeprolongement par continuité de f en a.

Les fonctions f et ˜f ne sont pas les mêmes (elles n’ont pas le même ensemble de définition). Cependant, pour ne pas alourdir les notations dans les exercices, la fonction ˜f est souvent encore notée f.

Remarque 15.3

1. La fonction f définie surR^?^par ^f^(x)=e⁻^x¹² est prolongeable par continuité en 0.

En effet, lim

x→0− 1

x²= −∞et lim

t→−∞e^t=0. Donc, par composition des limites, f(x)−−−→

x→0 0.

2. La fonction f définie surR^?₊^par ^f^(x)=xln(x) est prolongeable par continuité en 0.

En effet, par croissances comparées, lim

x→0xln(x)=0.

3. Soit_α∈R^\Z. On considère la fonction f_α:x7→x^α=e^α^ln(x)définie sur ]0,+∞[.

On a :







f_α(x)−−−→

x→0 0 si_α>0, f_α(x)−−−→

x→0 +∞ si_α<0.

Donc, lorsque_α>0, on peut prolonger f_αpar continuité en 0.

Exemple 15.2

I.4. Continuité sur un intervalle

Définition 15.4 – Continuité sur un intervalle

Soitf :I→Rune fonction eta∈I. On dit quef estcontinue sur Ilorsque f est continue en tout point deI.

Autrement dit,

∀a∈I,∀ε>0,∃η>0,∀x∈I,£

|x−a| Éη⇒ |f(x)−f(a)| Éε¤ . On noteC(I,R) l’ensemble des fonctions continues surI à valeurs réelles.

Les fonctions constantes, exponentielles, logarithmes, hyperboliques, trigonométriques, trigonométriques réci- proques, puissances, polynomiales, rationnelles, valeur absolue sont continues sur leurs ensembles de définition.

Exemple 15.3

Par définition de continuité sur un intervalle, on déduit les résultats suivants.

Théorème 15.5

Soientf :I→R^et^g^:^I→Rdes fonctions,a∈Iet (_λ,_µ)∈R²^. Si f etgsont continues surI, alors,

Ï λ.f+µ.gest continue surI.

Ï f gest continue surI.

Ï |f|est continue surI.

(6)

I. CONTINUITÉ EN UN POINT ET SUR UN INTERVALLE CONTINUITÉ

Ï si de plusgne s’annule pas surI, la fonction 1

g est bien définie surI et est continue sur I.

Ï si de plusgne s’annule pas surI, la fonction f

g est bien définie surI et est continue sur I.

Ï pour tout intervalleJ⊂I, la restriction f_|_J est continue surJ.

En particulier, f et gsont continues surI, alors min(f,g), max(f,g), f⁺et f⁻sont continues surI.

Remarque 15.4

Théorème 15.6

Soitf :I→Rune fonction. Soit gune fonction définies sur un intervalle JdeR. On suppose quef(I)⊂J.

Si f est continue surIetgest continue surJ, alors g◦f est continue surI.

Montrer que la fonction f :x7→

pe^x−x−1

2+sin(x) est continue surR

Ï La fonctionx7→e^x−x−1 est continue surR, comme somme de fonctions continues.

Ï De plus, pour toutx∈R^,^e^xÊx+1. Donc, la fonction x7→e^x−x−1 est à valeurs dansR+

Or, la fonction t7→p

test continue surR+. Donc, x7→ p

e^x−x−1 est continue surRcomme composée de fonctions continues.

Ï De plus,x7→2+sin(x) est continue surRet, pour toutx∈R^{, 2}+sin(x)>0.

Ï Ainsi, f est continue surRcomme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.

Exemple 15.4

I.5. Application aux suites définies par récurrences

Soitf :I→Rune fonction.

On suppose queI est un intervalle stable par f (c’est-à-dire f(I)⊂I). On sait qu’il est alors possible de définir la suite (u_n)_n∈_Ntelle que :u₀∈I et, pour toutn∈N^,^un+1=f(u_n).

On suppose que (u_n)_n_∈_Nconverge vers une limite_`. On suppose de plus que f est continue surI et_`∈I. Alors, en passant à la limite dans l’égalitéu_n₊₁=f(u_n), on a :f(_`)=`.

Ainsi, la limite de la suite (u_n)_n∈_Nest unpoint fixede f.

Pour conclure que f(_`)=`, il suffit de supposer f continue en_`. Cependant, dans les exercices, la valeur de_`n’est pas encore connue lorsqu’on passe à la limite.

Remarque 15.5

(7)

CONTINUITÉ II. THÉORÈMES FONDAMENTAUX

II. Théorèmes fondamentaux

Dans tout ce chapitre,I désigne un intervalle deR. Cette hypothèse est fondamentale dans les théorèmes de cette partie. Nous la préciserons systématiquement.

II.1. Image d’un intervalle par une fonction continue

Théorème 15.7 – Théorème des valeurs intermédiaires

SoientI un intervalle deR^, ^f ^:^I→Rune fonction continue surIet (a,b)∈I²avecaÉb.

Pour tout réelycompris entre f(a) et f(b), il existe c∈[a,b] tel que y=f(c).

Démonstration

Soityun réel compris entref(a) etf(b). Quitte à remplacerf parf−y, on peut supposer quey=0.

On posea₀=aetb₀=bet on définit, pour toutn∈N^,

a_n+1=







an sif(an)f

µan+bn 2

¶ É0 a_n+b_n

2 sif(a_n)f

µa_n+b_n 2

¶

>0

et b_n+1=







an+bn

2 sif(an)f

µan+bn 2

¶ É0 b_n sif(a_n)f

µa_n+b_n 2

¶

>0.

Par construction, la suite (an)_n_∈_Nest croissante, la suite (bn)_n_∈_Nest décroissante et, pour toutn∈N^: b_n+1−a_n+1=1

2(bn−an) et f(an)f(bn)É0.

La suite (b_n−a_n)_n∈_Nest alors géométrique de raison1

2∈]−1, 1[, doncb_n−a_n−−−−−→

n→+∞ 0.

Donc, les suites (a_n)_n∈_Net (b_n)_n∈_Nsont adjacentes. Par théorème, elles convergent vers une même limitec.

De plus, la suite (an)_n_∈_Nest à valeurs dans [a,b] donc (passage à la limite dans les inégalités) sa limitecappartient à [a,b].

D’autre part, la fonctionf est continue surI,c∈I eta_n−−−−−→

n→+∞ c, donc par caractérisation séquentielle de la continuité, on a : f(a_n)−−−−−→

n→+∞ f(c). De même,f(b_n)−−−−−→

n→+∞ f(c).

Or, pour toutn∈N^,^f^(an)f(bn)É0. Donc, par passage à la limite, on obtientf(c)²É0, doncf(c)=0.

(8)

II. THÉORÈMES FONDAMENTAUX CONTINUITÉ

Corollaire 15.1

SoientI un intervalle deR^, ^f ^:^I→Rune fonction continue surIet (a,b)∈I²avecaÉb.

Si f(a)×f(b)É0 alors, il existe c∈[a,b] tel que f(c)=0.

Démonstration

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires avecy=0.

Dans les deux résultats précédents, le réel cpeut ne pas être unique.

Remarque 15.6

La démonstration du théorème des valeurs intermédiaires avec y=0 donne une méthode algorithmique pour déterminer une valeur approchée d’une solution de l’équation f(x)=0, d’inconnue réellex.

Pour pouvoir appliquer l’algorithme, il suffit de connaître deux valeurs aÉb telles que f(a)f(b)É0 (ce qui est équivalent à f(a) etf(b) sont de signes différents) et de savoir la fonction f continue sur [a,b].

Python – Algorithme de dichotomie

1 def dichotomie(f,a,b,eps):

2 """

3 Renvoie une valeur approchée à eps près d'une solution de l'équation f(x)=0

4 Entrée : f une fonction, a et b des réels, eps un réel

5 Sortie : m un réel

6 """

7 assert f(a)*f(b)<=0,"Condition initiale non remplie"

8 while abs(b-a)>eps:

9 m=(a+b)/2

10 if f(a)*f(m)<=0:

11 b=m

12 else:

13 a=m

14 return m

La valeur renvoyée appartient à un intervalle de longueur inférieure ou égale àepset est donc bien une valeur approchée àepsprès d’une solution de l’équation f(x)=0.

Appliquons la fonction précédente pour déterminer une valeur approchée de p

2 à_ε=10⁻¹⁰ près. Pour cela, on utilise la fonction f:x7→x²−2,a=1 etb=2 (le choix deaetbest motivé par l’encadrement 1Ép

2É2).

Python

1 >>> dichotomie(lambda x : x**2-2, 1, 2, 10**(-10))

2 1.4142135623260401

Remarque 15.7 – Algorithme de dichotomie

Exercice 15.1

Soit (a,b,c,d)∈R⁴^avec^a,0. Montrer que l’équationax³+bx²+cx+d=0, d’inconnuex, possède au moins une solution réelle.

Résolution

Quitte à multiplier l’équation par−1, on supposea>0.

On pose, pour toutx∈R^,^f^(x)=ax³+bx²+cx+d.

(9)

Commea>0,f(x)−−−−−→

x→+∞ +∞. Donc, par définition de limite, il existeA∈Rtel que, pour toutxÊA,f(x)Ê1.

D’où, il existeα∈R^{tel que}^f⁽α)>0.

De même,f(x)−−−−−→

x→−∞ −∞. Donc, il existeB∈Rtel que, pour toutxÉB,f(x)É −1 D’où, il existeβ<αtel quef(β)<0.

La fonctionf est continue sur l’intervalle [α,β] etf(α)f(β)<0.

Donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c∈[α,β] tel que f(c)=0. Ce réelcest une solution de l’équation ax³+bx²+cx+d=0.

Corollaire 15.2

SoientI un intervalle deR^et^f ^:^I→Rune fonction continue surI.

Si f ne s’annule pas surI, alors

Ï ou bien f est strictement positive surI; Ï ou bien f est strictement négative surI. Démonstration

Sif prend des valeurs strictement positives et strictement négatives, alors, par le théorème des valeurs intermédiaires,f s’annule.

Contradiction.

Corollaire 15.3 – Cas d’une fonction strictement monotone

SoientI un intervalle deR^, ^f ^:^I→Rune fonction continue et strictement monotone surIet (a,b)∈I²avec aÉb.

Pour tout réelycompris entre f(a) et f(b), il existe un uniquec∈[a,b] tel que y=f(c).

Démonstration

Pour fixer les idées, on supposef croissante (lorsquef et décroissante, il suffit de remplacerf par−f).

Soityun réel compris entref(a) etf(b). Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existec∈[a,b] tel quey=f(c).

Soitc⁰∈[a,b] tel quey=f(c⁰). D’oùf(c)=y=f(c⁰).

• Sic<c⁰, par stricte monotonie def, on af(c)<f(c⁰). Contradiction. Donc,cÊc⁰.

• Sic>c⁰, par stricte monotonie def, on af(c)>f(c⁰). Contradiction. Donc,cÉc⁰.

Donc,c=c⁰.

Théorème 15.8 – Théorème des valeurs intermédiaires

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Démonstration

Soientf:I→Rune fonction continue sur un intervalleIdeR^et^J⊂Iun intervalle deR^. Montrons quef(J) est un intervalle deR^.

Pour cela, montrons que, pour tout (y₁,y₂)∈f(J)²avecy₁Éy₂, on a : [y₁,y₂]⊂f(J). Soit (y₁,y₂)∈f(J)². On sait alors qu’il existe (x₁,x₂)∈J²tel quey₁=f(x₁) ety₂=f(x₂).

Soitz∈[y₁,y₂]. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existeccompris entrex₁etx₂tel quey=f(c).

Or,Jest un intervalle et (x₁,x₂)∈J², doncc∈J, puisz=f(c)∈f(J).

D’où, [y₁,y₂]⊂f(J). Donc,f(J) est un intervalle deR^.

(10)

II.2. Image d’un segment par une application continue

Théorème 15.9 – Théorème des bornes atteintes

SoientaÉbdes réels et f : [a,b]→Rune fonction continue sur [a,b].

Alors, f est bornée et atteint ses bornes.

Démonstration

Hors-programme.

Soit f : [a,b]→R. Les assertions suivantes sont équivalentes : Ï f est bornée et atteint ses bornes ;

f(x)|x∈[a,b]ª

et f(d)=max©

f(x)|x∈[a,b]ª

; Ï il existe (c,d)∈[a,b]²tel que, pour tout x∈[a,b], f(c)Éf(x)Éf(d).

Remarque 15.8

Corollaire 15.4

SoientaÉbdes réels et f : [a,b]→Rune fonction continue sur [a,b].

Alors, f([a,b]) est un segment.

Démonstration

Par le théorème de bornes atteintes, il existe (c,d)∈[a,b]²tel que, pour toutx∈[a,b],f(c)Éf(x)Éf(d).

On en déduit quef([a,b])⊂[f(c),f(d)].

Soity∈[f(c),f(d)]. Par le théorèmes valeurs intermédiaires, il existexcompris entrecetdtel quey=f(x). Or, (c,d)∈[a,b]², donc x∈[a,b] ety=f(x)∈f([a,b]).

Donc, [f(c),f(d)]⊂f([a,b]), puisf([a,b])=[f(c),f(d)].

Exercice 15.2

Soitf :R→Rune fonction continue surR. On suppose que lim

x→+∞f(x)= lim

x→−∞f(x)= +∞. Montrer quef possède un minimum.

Résolution

On sait que lim

x→−∞f(x)= +∞. Donc, par définition de limite, il existeA∈R^?₋tel que, pour toutxÉA,f(x)Êf(0)+1.

On sait que lim

x→+∞f(x)= +∞. Donc, par définition de limite, il existeB∈R^?₊tel que, pour toutxÊB,f(x)Êf(0)+1.

On a :A<0<B.

De plus,f est continue sur le segment [A,B].

Donc, par le théorème des bornes atteintes, il existec∈[A,B] tel que, pour toutx∈[A,B],f(x)Êf(c).

En particulier,f(0)Êf(c).

(11)

De plus, pour toutx<A, on af(x)Êf(0)+1Êf(0)Êf(c).

De même, pour toutx>B, on af(x)Êf(0)+1Êf(0)Êf(c).

Ainsi, pour toutx∈R^,^f^(x)Êf(c).

La fonctionf possède un minimum (ce minimum est atteint enc).

II.3. Continuité et injectivité

Théorème 15.10

SoitI un intervalle deR^et^f ^:^I→Rune fonction continue surI.

Si f est injective surI, alors f est strictement monotone surI.

Démonstration

On supposef injective. Montrons quef est strictement monotone.

Soit (a,b)∈I²aveca,^{b. Comme}^f est injectivef(a),^f(b). Quitte à remplacerf par−f, on supposef(a)<f(b).

Montrons quef est strictement croissante surI.

Soit (x,y)∈I²avecx<y.

On considèregla fonction définie sur [0, 1] parg(t)=f(t y+(1−t)b)−f(tx+(1−t)a).

Pour toutt∈[0, 1],t y+(1−t)best compris entreyetbettx+(1−t)aest compris entrexeta. CommeIest un intervalle, pour tout t∈[0, 1],t y+(1−t)b∈Iettx+(1−t)a∈I.

Donc,gest bien définie. Elle est de plus continue comme composée de fonctions continues.

On ag(0)=f(b)−f(a)>0 et, par injectivité def,g(1)=f(y)−f(x),^0.

De plus,gest à valeurs strictement positives. Sinon, par le théorème des valeurs intermédiaires, il existet₀∈[0, 1] tel queg(t₀)=0.

Autrement dit,f(t₀y+(1−t₀)b)=f(t₀x+(1−t₀)a).

Or,g(0),^0,^g(1),^0,^a<betx<y. Donc,t₀∈]0, 1[, puist₀x+(1−t₀)a,^t0y+(1−t₀)b. Ce qui contredit l’injectivité de f.

Donc,gest à valeurs strictement positives. En particulier,g(1)=f(y)−f(x)>0. Ainsi,f est strictement croissante surI.

La réciproque : si f est strictement monotone sur I, alors f est injective sur I est vraie et ne nécessite pas l’hypothèse de continuité de f

Remarque 15.9

Lemme 15.1

SoitI un intervalle deR^et^f ^:^I→Rune fonction monotone surI.

Si f(I) est un intervalle, alors f est continue surI.

Démonstration

Supposons quef(I) est un intervalle et montrons quef est continue enI. Quitte à remplacerf par−f, on supposef croissante surI.

Soita∈I. On traite le cas oùan’est pas l’extrémité droite ou gauche deI.

Montrons quef est continue à gauche ena.

Soitx₀∈Itel quex₀<a(x₀existe caran’est pas l’extrémité gauche deI). Commef est croissante, par le théorème de la limite monotone, on af(x₀)É lim

x→a⁻f(x)Éf(a).

On en déduit que lim

x→a⁻f(x)∈[f(x₀),f(a)]. Or,f(I) est un intervalle, donc [f(x₀),f(a)]⊂f(I).

D’où, lim

x→a⁻f(x)∈f(I) et il existec∈Itel quef(c)= lim

x→a⁻f(x). Il reste à montrer quef(c)=f(a).

Par croissance def, pour toutx∈Iavecx<a, on af(x)Éf(c) et, pour toutx∈IavecxÊa, on af(x)Êf(a).

On en déduit que [f(c),f(a)]∩ f(I) = {f(c),f(a)}. Or, f(I) est un intervalle, donc, [f(c),f(a)] ⊂ f(I). D’où, [f(c),f(a)]∩f(I)=[f(c),f(a)]={f(c),f(a)}. Ainsi,f(c)=f(a) etf est continue à gauche ena.

De même, on montre quef est continue à droite ena. Donc,f est continue ena.

Le cas oùa∈Iest une extrémité deIse traite de la même manière.

Donc,f est continue en tout point deI. Donc,f est continue surI.

(12)

Corollaire 15.5 – Théorème de la bijection

SoitI un intervalle deR^et^f ^:^I→Rune fonction continue et strictement monotone surI.

Alors,

1. f(I) est un intervalle deR^;

2. f réalise une bijection deI sur f(I) ; 3. f⁻¹ est de même variation quef;

4. La bijection réciproque f⁻¹:f(I)→I de f est continue surf(I).

Démonstration

1. f est continue etIest un intervalle deR. Par le théorème des valeurs intermédiaires,f(I) est un intervalle deR^. 2. f est strictement monotone donc est injective surI. Donc,f réalise une bijection deIsur son ensemble imagef(I).

3. Pour fixer les idées, on supposef strictement croissante. Soit (y₁,y₂)∈f(I)²avecy₁<y₂. Par définition,y₁=f(x₁) ety₂=f(x₂) avec (x₁,x₂)∈I².

Commef est strictement croissante, on ax₁<x₂. Donc,f⁻¹(y₁)<f⁻¹(y₂). Donc,f⁻¹est strictement croissante surf(I).

4. La bijection réciproque f⁻¹est monotone etf⁻¹(f(I))=Iest un intervalle. Donc, par le lemme précédent,f⁻¹est continue sur

f(I).

Soient (a,b)∈R²^{fixé et} ^f vérifiant les hypothèses du théorèmes de la bijection.

f est strictement croissante surI f est strictement décroissante surI

I= f(I)= f(I)=

[a,b] [f(a),f(b)] [f(b),f(a)]

[a,b[

·

f(a), lim

x→bf(x)

· ¸

lim

x→bf(x),f(a)

¸

]a,b] i

limx→af(x),f(b)i h

f(b), lim

x→af(x)h ]a,b[

¸

limx→af(x), lim

x→bf(x)

· ¸

lim

x→bf(x), lim

x→af(x)

·

Justifions que si f strictement croissante, alors f([a,b[)=

·

f(a), lim

x→bf(x)

· . Par continuité de f, on sait que f([a,b[) est un intervalle deR^.

Par croissance de f, pour toutt∈[a,b[, f(t)Êf(a). Donc, f(a) le minimum de f([a,b[).

De même, par le théorème de la limite monotone, pour toutt∈[a,b[, f(t)Élim

x→bf(x). On en déduit que lim

x→bf(x) est un majorant de f([a,b[).

S’il existe t₀∈[a,b[ tel que f(t₀)=lim

x→bf(x). Alors, par croissance de f, pour tout y∈[t₀,b[, f(t₀)=f(y), ce qui contredit l’injectivité de f.

Donc, pour toutt∈[a,b[, lim

x→bf(x)∉f([a,b[).

De plus, par définition de limite, pour tout_ε>0, il existet₁∈Itel que lim

x→bf(x)−ε<f(t).

Donc, lim

x→bf(x)=sup(f([a,b[)).

Ainsi, f([a,b[)=

·

f(a), lim

x→bf(x)

· .

Remarque 15.10 – Forme de l’intervalle image f(I)

Exercice 15.3

Dans le chapitre 3, reprendre les définitions de la fonction exponentielle et des fonctions trigonométriques réciproques.