Propriété et définition : La fonction

Prof/ATMANI NAJIB

http:// xriadiat.e-monsite.com 1 Résumé de Cours fonctions exponentielles http:// xriadiat.e-monsite.com

PROF : ATMANI NAJIB 2BAC SM

Propriété et définition : La fonction 𝑙𝑛 admet une fonction réciproque définie de] − ∞, +∞ [

Vers ]0, +∞[ appelée fonction Exponentielle

népérienne notée : 𝑒𝑥𝑝 et qui est strictement monotone sur ℝ

et on a pour tout 𝑥 et 𝑦 dans ℝ : 1) e

^{x y}

  e

^x

e

^y

2)

x

1

e

x

e



 3)

x x y

y

e e e





4) ^e

^rx

^   ^e

^{x r}

 ^{r }  ⁵⁾  ^e

^lnx

^{ x}  ^{  x 0 }

6)  ^ln   ^e

^x

^{ x}  ^{   x }

7)  ^{ y 0}   ^{  x}   ^e

^x

^{ y}  ^{   x ln y }

8)  ^{ y 0}   ^{  x}   ^e

^x

^{ e}

^y

 ^{  x  y }

9)  ^{ y 0}   ^{  x}   ^e

^x

^{ e}

^y

 ^{   x y }

10)La fonction 𝑒𝑥𝑝 est dérivable sur ℝ et (∀𝑥 ∈ ℝ)   ^e

^x

^{  e}

^x

11)Si 𝑢 est une fonction dérivable sur un intervalle 𝐼 alors la fonction e

^{u x}

^{ } est dérivable sur 𝐼 et

(∀𝑥 ∈ 𝐼)(   ^e

^{u x }

^{  u x e   }

^{u x }

⁾⁾

12)Si u est une fonction dérivable alors une primitive de u'(x) . e

^u(x)

est e

^u(x)

.

(Limites usuelles) 1) lim

^x

x

e



  2) lim

^x

0

x

e



 3) lim

x x

e



x  

4) lim

x x n

e



x   5) lim

^x

0

x

xe

^



 6) lim

^{n x}

0

x

x e





7)

0

lim 1 1

x x

e



x

  avec : n 

^

Représentation de la fonction 𝒆𝒙𝒑

Les courbes 𝐶

𝑙𝑛

et 𝐶

𝑒𝑥𝑝

sont symétriques par rapport à la première bissectrice (Δ) : 𝑦 = 𝑥

Le Tableau de variation et L’ 𝑒𝑥𝑝 :

FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE 𝑎 Soit 𝑎 > 0 et 𝑎 ≠ 1 ; on a :

1)(∀𝑥 ∈ ℝ) a

^x

 e

^xlna

2)fonction exp

_a

est définie sur 3)   x a

^x

0

4)   x   y

^_

a

^x

   y x log

_a

y

5)   x ^log

a

  a

^x

 x 6)   x

^_

a

^loga

^{ }

^x

 x

(∀a ∈ ℝ∗+)(∀b ∈ ℝ∗+)(∀𝑥 ∈ ℝ) (∀y ∈ ℝ) 7) a

^x

 a

^y

 a

^{x y}

8)

_x

1

a

x

a



 9)  ^{a b } 

^x

^{ a}

^x

^{ b}

^x

10)   ^a

^{x y}

^{ a}

^{x y}

¹¹⁾

^{x y x}y

a a

a



 ¹²⁾

x x

x

a a

b b

  

   

13)   ^a

^x

^{   a}

^x

^{ln a} 14) ^a

^rx

^   ^a

^{x r}

15)a) x  a

^x

est strictement croissante si a 1

b) x  a

^x

est strictement décroissante si 0 a 1

16)(∀𝑥 ∈ ℝ)   ^a

^x

^{    ln a a}

^x

17)Si u est une fonction dérivable alors une primitive de ^{u x a }  

^{u x}

^{  est 1  }

ln a

u x

a

« C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et

exercices Que l’on devient un mathématicien

FONCTIONS EXPONENTIELLES