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(2.1.1) (2.1.1)
(2.2.1) (2.2.1) (1.1) (1.1)
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(2.2.2) (2.2.2)
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(2.2.4) (2.2.4) (2.2.3) (2.2.3)
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Correction de l'exercice 2 de la planche n°1 restart;
Définition de la fonction f
f := (x,y) -> (2*x-4*y)*exp(-(x^2+y^2)) ; f:= x,y / 2 xK4 y eKx2Ky2
Condition nécessaire pour que f atteigne un extremum local en un point
La fonction est de classe C^infini sur R^2, comme composée et produit de fonctions de classe
C^infini. Elle est donc a fortiori de classe C^1 sur R^2, qui est bien sûr un ouvert de R^2. On a donc une condition nécessaire pour que la fonction f atteigne un extremum local en un point (x0,y0).
Précisément, si f atteint un extremum local en un point (x0,y0), alors ses dérivées partielles sont nulles en (x0,y0).
Calcul des dérivées partielles premières
Dxf := simplify( diff(f(x,y),x) );
Dyf := simplify ( diff(f(x,y),y) );
Dxf:=K2 eKx2Ky2 K1C2 x2K4 x y Dyf:=K4 eKx2Ky2 1Cx yK2 y2
Recherche des points en lesquels les deux dérivées partielles s'annulent sol:=solve({Dxf=0,Dyf=0},{x,y});
sol:= x=K1
2 RootOf 5 _Z2K2 ,y=RootOf 5 _Z2K2
sol:=allvalues(sol); # Expressions des coordonnées des points candidats à l'aide de radicaux
sol:= x=K1
10 10 ,y= 1
5 10 , x= 1
10 10 ,y=K1 5 10
Il existe donc deux points en lesquels la fonction f peut atteindre un extremum local. On les note M1(x1,y1) et M2(x2,y2). On affecte leurs coordonnées dans des variables.
x1:=rhs(sol[1][1]); # Abscisse du point M1 y1:=rhs(sol[1][2]); # Ordonnée du point M1
x1:=K1 10 10 y1:= 1
5 10
x2:=rhs(sol[2][1]); # Abscisse du point M2 y2:=rhs(sol[2][2]); # Ordonnée du point M2
x2:= 1 10 10 y2:=K1
5 10
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(4.1.1) (4.1.1) Conjecture sur les extrema locaux de f
On trace la surface représentative de f, d'équation z=f(x,y), pour conjecturer si f atteint ou non des extrema locaux en les deux points candidats. On choisit la fenêtre graphique à l'aide des valeurs obtenues en 2.2.2., pour les coordonnées des deux points candidats.
with(plots):
implicitplot3d(z=f(x,y) ,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3,numpoints=5000);
La fonction f semble admettre deux extrema locaux. Elle devraient donc atteindre en chacun des deux points candidats des extrema locaux (voire globaux, vu la figure précédente).
Calcul de r, s, t (cf. notations de Monge) en chacun des points candidats Calcul des dérivées partielles secondes
Dxxf := simplify( diff(f(x,y),x,x) );
Dyyf := simplify ( diff(f(x,y),y,y) );
Dxyf := simplify ( diff(f(x,y),x,y) );
Dyxf := simplify ( diff(f(x,y),y,x) );
Dxxf:= 4 eKx2Ky2 K3 xC2 yC2 x3K4 x2 y Dyyf:= 4 eKx2Ky2 6 yKxC2 y2 xK4 y3 Dxyf:= 4 eKx2Ky2 KyC2 xC2 x2 yK4 y2 x Dyxf:= 4 eKx2Ky2 KyC2 xC2 x2 yK4 y2 x
(4.2.2) (4.2.2)
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(4.3.3) (4.3.3)
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(4.3.5) (4.3.5)
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(4.2.4) (4.2.4)
(4.3.4) (4.3.4) (4.3.1) (4.3.1)
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(4.2.5) (4.2.5)
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(4.2.1) (4.2.1)
(4.2.3) (4.2.3)
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(4.3.2) (4.3.2)
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Les deux dernières commandes donnent le même résultat. On pouvait le prévoir. En effet, la fonction f est de classe C^infini sur R^2 et donc a fortiori de classe C^2 sur R^2. Le théorème de Schwarz s'applique donc.
Calcul de r, s, t au point candidat M1 r:=subs({x=x1,y=y1},Dxxf);
r:= 12 5 eK
1 2 10
t:=subs({x=x1,y=y1},Dyyf);
t:= 18 5 eK
1 2 10
s:=subs({x=x1,y=y1},Dxyf);
s:=K4 5 eK
1 2 10
r*t-s^2;
80 eK
1 2
2
Comme r*t-s^2 > 0 et r>0, la fonction f atteint un minimum local en M1. On le calcule ci-dessous.
f(x1,y1);
KeK
1 2 10
Calcul de r, s, t au point candidat M2 r:=subs({x=x2,y=y2},Dxxf);
r:=K12 5 eK
1 2 10
t:=subs({x=x2,y=y2},Dyyf);
t:=K18 5 eK
1 2 10
s:=subs({x=x2,y=y2},Dxyf);
s:= 4 5 eK
1 2 10
r*t-s^2;
80 eK
1 2
2
Comme r*t-s^2 > 0 et r<0, la fonction f atteint un maximum local en M2. On le calcule ci-dessous.
f(x2,y2);
eK
1 2 10
Conclusion
* La fonction f atteint un minimun local strictement négatif en M1 et un maximum local strictement positif en M2.
* f(x,y) tend vers 0 quand la norme de (x,y) tend vers +infini.
Des deux points précédents, on déduit que les deux extrema locaux de f sont en fait globaux.
