Activit´e de math´ematiques
M´ethode d’Euler
(Approximation de la solution d’une ´equation diff´erentielle)
Le but de l’activit´e est d’´etudier graphiquement la solution de l’´equation diff´erentielle suivante : f′(x) = f(x)
f(0) = 1 On admet l’existence d’une unique fonctionf solution.
Approximation de la fonction f par la m´ ethode d’Euler
On rappelle qu’une fonction gd´efinie et d´erivable au voisinage d’un pointapeut ˆetre approch´ee locale- ment par la fonction affinex7→g(a) +g′(a)(x−a) au voisinage dea.
1. On appelle δ un r´eel proche de z´ero, montrer quef(a+δ)≃(1 +δ)f(a).
2. On d´efinit la suite arithm´etique
x0 = 0
xn+1 = xn+δ , n∈N .
Montrer que l’on peut approcher les valeursf(xn) par une suite (yn)n∈Ng´eom´etrique de raison (1 +δ) et de terme g´en´eral yn= (1 +δ)n.
3. (a) On pose δ = 0,1. Calculer `a l’aide de la calculatrice les valeurs xn etyn pour 06n610.
(b) On pose δ =−0,1. Calculer `a l’aide de la calculatrice les valeursxn etyn pour 06n610.
4. Construire une approximation de la courbe repr´esentative de la fonctionf sur l’intervalle [−1; 1] dans un rep`ere orthonorm´e d’unit´e 10 cm.
Calcul d’une valeur approch´ ee de f (1) par la m´ ethode d’Euler
1. Montrer en utilisant la m´ethode d’Euler avec un pas δ= 0,1 quef(1)≃1,110. 2. Expliquer pourquoi les nombres en = (1 + 10−n)10
n
, n ∈ N sont des valeurs approch´ees de f(1).
Quelle conjecture peut-on ´emettre au sujet de la suite (en)n>0 ?
3. Calculer `a l’aide de la calculatrice une valeur approch´ee def(1) avec 6 d´ecimales exactes.
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