Feuille d’exercices n˚4

(1)

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚4

Fonctions et relation d’ordre ≤ sur R

Exercice 64 : Montrer que

∀x∈R x(1−x)≤ 1 4 et interpréter cette propriété en termes de fonctions.

Exercice 65 : Montrer que :

∀x∈]0,+∞[ 1

x− 1

x+ 1 < 1 x² et interpréter cette propriété en termes de fonctions.

Exercice 66 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R^∗→R; x7→ 1 2 − 1

x². Dresser le tableau de signes def.

F Exercice 67

1. Soitk∈N^∗. En utilisant la quantit´e conjugu´ee, montrer que : 2(√

k+ 1−√ k)< 1

√

k et 1

√ k <2(

√ k−√

k−1).

2. Montrer que pour toutn∈N^∗ : 2√

n−2 + 1

√n <

n

X

k=1

√1 k <2√

n−1.

3. En d´eduire la partie enti`ere de

10000

X

k=1

√1 k.

f:R→R; x7→x³−6x².

Montrer que la courbe représentative Cf def dans un repère du plan admet un unique centre de symétrie Ω.

On pr´ecisera les coordonn´ees de Ω.

Exercice 69 Soientf et gles fonctions d´efinies par : f:R→R; x7→ |x|

1 +x² et g:R→R; x7→3x⁵−x³+ 5x et soientCf etCg les courbes repr´esentatives respectives def et g dans un rep`ere du plan.

1. Étudier la parité def. Qu’en déduit-on pourCf? 2. Étudier la parité deg. Qu’en déduit-on pour Cg?

(2)

f:R→R; x7→







−|x+ 4| six <1 3 six= 1 x²−6 six >1

.

Tracer l’allure de la représentation graphiqueC_fdefdans un repère du plan, en vous appuyant sur les propriétés d’une représentation graphique de fonction affine (resp. d’un trinôme du second degré).

Exercice 71 : Soientf etg les fonctions d´efinies par :

f:R→R, x7→x³ g:R→R, x7→3x−2.

SoientC_f etC_g les courbes repr´esentatives respectives def et gdans un rep`ere du plan.

1. Factoriser le polynômeP=X³−3X+ 2, après avoir remarqué que 1 est racine deP. 2. En déduire la position relative deCf et Cg.

f:R→R; x7→x⁵−2x⁴−2x³+ 4x²+x−2 et soitCf sa courbe repr´esentative dans un rep`ere du plan.

1. Calculerf(2).

2. Déterminer les coordonnées des points où la courbeC_f coupe l’axe des abscisses.

F Exercice 73 : Soient Iet J deux parties non vides deR. Soient f:I→J et g:I→J deux fonctions.

1. Montrer que sif est major´ee, alors −f est minor´ee.

2. Montrer que si f et g sont minorées (resp. majorées, bornées), alors f +g est minorée (resp. majorée, bornée).

3. Montrer que sif et gsont born´ees alorsf gest born´ee.

4. On suppose ici quef ≥0 etg≥0. Montrer que sif et gsont major´ees, alorsf g est major´ee.

5. Donner un exemple de deux fonctions f: ]− ∞,0[→ R et g: ]− ∞,0[→ R toutes deux major´ees, mais telles que le produit f gn’est pas major´e.

Exercice 74 : Soientf etg les fonctions d´efinies par :

f: R→R, x7→3x−5 g:R→R, x7→ 2x²+ 1 x²+ 1 . 1. (a) Montrer que :

∀x∈R g(x) = 2− 1 x²+ 1.

(b) Montrer que 1 est un minorant deg surRet que 2 est un majorant de gsurR. 2. La fonctionf est-elle born´ee surR?

3. D´emontrer que la fonctiong◦f est born´ee surR.

Exercice 75 : Soitf la fonction cube d´efinie par :

f:R→R, x7→x³.

1. Étudier la parité de la fonctionf surR. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative def dans un repère du plan ?

2. Montrer que :

∀x, y∈R x³−y³= (x−y)(x²+xy+y²).

(3)

F Exercice 76

1. Soient x, y∈R. D´emontrer que pour toutn∈N^≥2: xⁿ−yⁿ= (x−y)

n−1

X

k=0

x^ky^n−1−k

! .

2. Soitn∈N^≥2 et soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R; x7→xⁿ. D´eduire de la question 1 les deux r´esultats suivants.

(a) Sinest pair, alorsf est strictement d´ecroissante sur ]− ∞,0] et strictement croissante sur [0,+∞[.

(b) Sinest impair, alorsf est strictement croissante surR.

f:R→R, x7→ |4−x|.

1. (a) Exprimerf(x) sans valeur absolue (x∈R) `a l’aide d’un tableau.

(b) Dresser le tableau de variation def surR.

2. (a) Écrire f comme composée d’une fonction affineg et de la fonction valeur absolue, notée abs.

(b) Retrouver le r´esultat 1.(b), `a l’aide de 2.(a) et du sens de variation de certaines fonctions usuelles.

f:R→R, x7→ |x−1|+|5−x|.

1. Exprimer f(x) sans valeur absolue (x∈R) `a l’aide d’un tableau.

2. Dresser le tableau de variations def surR.

F Exercice 79 : Soient a, b, ctrois r´eels tels quea < b < c. Soitf: [a, c]→Rune fonction.

1. Montrer que sif est croissante sur [a, b] et croissante sur [b, c], alors f est croissante sur [a, c].

2. Donner un exemple de fonction f: [0,2]→R, croissante sur [0,1] et croissante sur ]1,2], mais qui n’est pas croissante sur [0,2].

f: R\ {2} →R, x7→2x+ 3 x−2 . 1. Montrer que :

∀x, y∈R\ {2} f(x)−f(y) =− 7(x−y) (x−2)(y−2).

2. Montrer quef est strictement d´ecroissante sur ]− ∞,2[ et strictement d´ecroissante sur ]2,+∞[.

F Exercice 81 : Soienta, b, c6= 0, d quatre nombres réels fixés. On pose ∆ =ad−bc. Soitf la fonction définie par :

f:R\

−d c

→R, x7→ ax+b cx+d. 1. Montrer que :

∀x, y∈R\

−d c

f(x)−f(y) = ∆× (x−y) (cx+d)(cy+d).

(4)

2. On note respectivement I⁻ etI⁺ les intervalles

−∞,−d c

et

−d c,+∞

. D´eduire de la question 1 que :

(a) si ∆ = 0, alorsf est constante surR\

−d c

;

(b) si ∆>0, alorsf est strictement croissante surI⁻ et f est strictement croissante surI⁺; (c) si ∆<0, alorsf est strictement d´ecroissante sur I⁻ et f est strictement d´ecroissante surI⁺.

f: [1,+∞[→R, x7→√ x−1.

1. ´Ecrire f comme la compos´ee de deux fonctions usuelles.

2. En d´eduire les variations de la fonction f sur [1,+∞[.

f: ]2,+∞[→R, x7→ 1 x²−4. 1. ´Ecrire f comme la compos´ee de trois fonctions usuelles.

2. En d´eduire les variations de la fonction f sur ]2,+∞[.

F Exercice 84 : Soitf la fonction d´efinie par :

f:R→R, x7→p

|x³|.

1. ´Ecrire f comme la compos´ee de trois fonctions usuelles.

2. En d´eduire quef est strictement d´ecroissante sur ]− ∞,0[ et strictement croissante sur ]0,+∞[.

F Exercice 85 : Soient f etg les fonctions d´efinies par :

f: ]−1,1[→R, x7→x²+ 4x+ 3 g: ]−1,1[→R, x7→ −x²−3x+ 4.

1. Montrer que :

∀x∈]−1,1[ f(x)>0 etg(x)>0.

2. ´Etudier les variations de f etg sur ]−1,1[.

3. En d´eduire, en justifiant soigneusement, que f

g est strictement croissante sur ]−1,1[.

Exercice 86 : D´emontrer les encadrements suivants, en justifiant chaque ´etape du raisonnement. On pourra notamment invoquer le sens de variation des fonctions usuelles pour argumenter.

1. ∀x∈[−3,2] 0≤x²≤9.

2. ∀x∈[−1,3] 0≤√

x+ 1≤2.

3. ∀x∈]−5,−3[ 1 6 < 1

1−x <1 4. 4. ∀x∈[1,4[ 2√

17

17 < 2

√1 +x² ≤√ 2.

(5)

Exercice 87

1. Soitf le polynˆome d´efini par :

f:R→R; x7→x³−3x²+ 3x−1.

(a) Factoriser le polynˆomef. (b) ´Etudier le signe de la fonctionf.

(c) ´Etudier les variations de la fonctionf. 2. Soitg la fonction d´efinie par :

g:x7→p

x³−3x²+ 3x−1.

(a) D´eterminer le domaine de d´efinition deg.

(b) ´Etudier les variations de la fonctiong.

(c) R´esoudre l’in´equation :

(I) : 2x−3< g(x) et interpr´eter graphiquement l’ensemble solution.