L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚7
Fonctions et relation d’ordre ≤ sur R
Exercice 97 : Montrer que
∀x∈R x(1−x)≤ 1 4 et interpr´eter cette propri´et´e en termes de fonctions.
Exercice 98 : Montrer que :
∀x∈]0,+∞[ 1
x− 1
x+ 1 < 1 x2 et interpr´eter cette propri´et´e en termes de fonctions.
Exercice 99 : Soientf etg les fonctions d´efinies par :
f:R→R, x7→x3 g:R→R, x7→3x−2.
SoientCf etCg les courbes repr´esentatives respectives def et gdans un rep`ere du plan.
1. Factoriser le polynˆomeP=X3−3X+ 2, apr`es avoir remarqu´e que 1 est racine deP. 2. En d´eduire la position relative deCf et Cg.
Exercice 100 : Montrer que chacune des fonctions suivantes est born´ee sur son intervalle de d´efinition.
1. f1: [−4,2], x7→3−x 2. f2: [−3,4], x7→ |2x−5|
3. f3: [−5,1], x7→3x2−1 4. f4: [−2,6], x7→x2−3x+ 1 5. f5: [−5,5], x7→ |8−x2| 6. f6: [−2,3], x7→ 4
5−x 7. f7: [2,4], x7→ 1−2x
1−x
F Exercice 101 : Soientf:I→J etg: I→J deux fonctions.
1. Montrer que sif est major´ee, alors −f est minor´ee.
2. Montrer que si f et g sont minor´ees (resp. major´ees, born´ees), alors f +g est minor´ee (resp. major´ee, born´ee).
3. Montrer que sif et gsont born´ees alorsf gest born´ee.
4. On suppose ici quef ≥0 etg≥0. Montrer que sif et gsont major´ees, alorsf g est major´ee.
5. Donner un exemple de deux fonctions f: ]− ∞,0[→ R et g: ]− ∞,0[→ R toutes deux major´ees, mais telles que le produit f gn’est pas major´e.
Exercice 102 : Soient f etg les fonctions d´efinies par :
f: R→R, x7→3x−5 g:R→R, x7→ 2x2+ 1 x2+ 1 .
1
1. (a) Montrer que :
∀x∈R g(x) = 2− 1 x2+ 1.
(b) Montrer que 1 est un minorant deg surRet que 2 est un majorant de gsurR. 2. La fonctionf est-elle born´ee surR?
3. D´emontrer que la fonctiong◦f est born´ee surR.
4. D´emontrer que−2 est un minorant def◦gsurRet que 1 est un majorant def ◦g surR.
Exercice 103 : Soitf la fonction cube d´efinie par :
f:R→R, x7→x3.
1. ´Etudier la parit´e de la fonctionf surR. Que peut-on en d´eduire pour la courbe repr´esentative def dans un rep`ere du plan ?
2. Montrer que :
∀x, y∈R x3−y3= (x−y)(x2+xy+y2).
3. En d´eduire quef est strictement croissante surR.
Exercice 104 : Soitf la fonction d´efinie par :
f:R→R, x7→ |4−x|.
1. (a) Exprimerf(x) sans valeur absolue, `a l’aide d’un tableau.
(b) En d´eduire quef est strictement d´ecroissante sur ]− ∞,4[ et strictement croissante sur ]4,+∞[.
2. (a) ´Ecrire f comme compos´ee d’une fonction affineg et de la fonction valeur absolue, not´ee abs.
(b) Retrouver le r´esultat 1.(b), `a l’aide de 2.(a) et du sens de variation des fonctions usuelles.
Exercice 105 : Soitf la fonction d´efinie par :
f:R→R, x7→ |x−1|+|5−x|.
Montrer quefest strictement d´ecroissante sur ]−∞,1], constante sur [1,5] et strictement croissante sur [5,+∞[.
F Exercice 106 : Soienta, b, ctrois r´eels tels quea < b < c. Soitf: [a, c]→Rune fonction.
1. Montrer que sif est croissante sur [a, b] et croissante sur [b, c], alors f est croissante sur [a, c].
2. Donner un exemple de fonctionf: [0,2]→Rcroissante sur [0,1] et croissante sur ]1,2] mais qui n’est pas croissante sur [0,2].
F Exercice 107 : Soitf la fonction d´efinie par :
f: [−10,10]→R, x7→ |2−x|+|1−2x|.
Montrer quef est strictement d´ecroissante sur
−10,1 2
et strictement croissante sur 1
2,10
. Indication : On pourra penser `a utiliser le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent.
Exercice 108 : Soitf la fonction d´efinie par :
f: R\ {2} →R, x7→2x+ 3 x−2 . 1. Montrer que :
∀x, y∈R\ {2} f(x)−f(y) =− 7(x−y) (x−2)(y−2).
2
2. Montrer quef est strictement d´ecroissante sur ]− ∞,2[ et strictement d´ecroissante sur ]2,+∞[.
F Exercice 109 : Soienta, b, c6= 0, dquatre nombres r´eels fix´es. On pose ∆ =ad−bc. Soitf la fonction d´efinie par :
f:R\
−d c
→R, x7→ ax+b cx+d. 1. Montrer que :
∀x, y∈R\
−d c
f(x)−f(y) = ∆× (x−y) (cx+d)(cy+d). 2. On note respectivement I− etI+ les intervalles
−∞,−d c
et
−d c,+∞
. D´eduire de la question 1 que :
(a) si ∆ = 0, alorsf est constante surR\
−d c
;
(b) si ∆>0, alorsf est strictement croissante surI− et f est strictement croissante surI+; (c) si ∆<0, alorsf est strictement d´ecroissante sur I− et f est strictement d´ecroissante surI+.
Exercice 110 : Soitf la fonction d´efinie par :
f: [1,+∞[→R, x7→√ x−1.
1. ´Ecrire f comme la compos´ee de deux fonctions usuelles.
2. En d´eduire les variations de la fonction f sur [1,+∞[.
Exercice 111 : Soitf la fonction d´efinie par :
f: ]2,+∞[→R, x7→ 1 x2−4. 1. ´Ecrire f comme la compos´ee de trois fonctions usuelles.
2. En d´eduire les variations de la fonction f sur ]2,+∞[.
F Exercice 112 : Soitf la fonction d´efinie par :
f:R→R, x7→p
|x3|.
1. ´Ecrire f comme la compos´ee de trois fonctions usuelles.
2. En d´eduire quef est strictement d´ecroissante sur ]− ∞,0[ et strictement croissante sur ]0,+∞[.
F Exercice 113 : Soientf et gles fonctions d´efinies par :
f: ]−1,1[→R, x7→x2+ 4x+ 3 g: ]−1,1[→R, x7→ −x2−3x+ 4.
1. Montrer que :
∀x∈]−1,1[ f(x)>0 etg(x)>0.
2. ´Etudier les variations de f etg sur ]−1,1[.
3. En d´eduire, en justifiant soigneusement, que f
g est strictement croissante sur ]−1,1[.
3
