ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 15 octobre 2004
Exercices : nombres r´ eels et fonctions num´ eriques
Propri´et´es des nombres r´eels
Exercice 1: D´emontrez que pour tout (x, y, z)∈R3
|x+y+z| ≤ |x|+|y|+|z|et|x−y|+|x+y| ≥ |x|+|y|
Exercice? 2 : D´emontrez que pour tout nombre r´eelx∈R, bx
2c+bx+ 1
2 c=bxc.
Indication :on pourra discuter suivant la parit´e debxc.
Exercice? 3 : Soientα= 20 + 14√
2 etβ= 20−14√ 2 1. Montrez queαet β sont irrationnels.
2. Calculez√3 α β 3. Montrez quea=√3
α+√3
β est rationnel!
Indication :on pourra montrer que aest solution d’une ´equation polynˆomiale de degr´e 3.
Exercice 4: D´eterminer les bornes sup´erieures et inf´erieures dansRdes ensembles suivants : A={1
n; n∈N?}; B={(−1)n (1− 1
n); n∈N?}; C={1 n− 1
m; (n, m)∈N?×N?} Fonctions num´eriques
Exercice 5:
1. D´emontrez qu’il existe un unique couple de r´eels (a, b) tels que
∀x∈R\ {−1}, 1−x
1 +x =a+ b 1 +x. 2. Soitf : [0,1[→Rla fonction d´efinie par :∀t∈[0,1[, f(t) = ln1−√
t 1 +√
t. (a) Modifiez l’expression def en utilisant la premi`ere question,
(b) En d´eduire quef r´ealise une bijection de [0,1[ sur son ensembleimage et donner l’expression de son application r´eciproque.
Exercice 6: Pr´ecisez l’ensemble de d´efinition et dressez les tableaux de variations des fonctions suivantes : f(x) = ln(~ex−1); g(x) = exp 1
1−x
; h(x) = ln x+ 1 x−1
NB : aucun calcul de d´eriv´ee n’est indispensable.
Exercice 7: R´esoudre dansRles ´equations suivantes : 1. 6~e5x+2−7√
~e8x+4+~e3x+2= 0.
2. (x√ 2−√
3)6= x√ 3 + 7
4 3
.
3. x
√x= (√ x)x. 4. ex+e1−x=e+ 1.
Exercice 8: R´esoudre dansR2le syst`eme
ln(−x+ 2y) = ln(2x−3y+ 4) 35x+y×3−x−6y = 81
Exercice 9: Simplifiez pour tout nombre r´eelxles expressions suivantes :
sin 2x+ (sinx−cosx)2; cos2x+ cos2(2π/3 +x) + cos2(2π/3−x); sin2x+ sin2(2π/3 +x) + sin2(2π/3−x)
Exercices suppl´ ementaires
Propri´et´es des nombres r´eels
Exercice 10 : Soitn∈N?. On consid`ere une famille (xi)i∈[[0,n]]de r´eels tels que 0≤x1< x2<· · ·< xn≤1
Montrer qu’il existei, j∈[[0, n]],i6=j, tels que|xi−xj| ≤1/n.
Exercice 11 : Soitn∈N?, d´emontrez que : 1. ∀(xi)∈Rn, |
n
X
i=1
xi| ≤
n
X
i=1
|xi|.
2. ∀(xi)∈Rn,∀j∈[[1, n]], |
n
X
i=0
xi| ≥ |xj| −X
i6=j
|xi|.
Exercice 12 : Soient a, b, cdes nombes r´eels.
1. (a) Montrez que
a+b <2 +a2+b2et a+b <(1 +a2)(1 +b2) (b) Comparez alors 2 +a2+b2 et (1 +a2)(1 +b2).
2. Prouvez que
8abc≤(1 +a2)(1 +b2)(1 +c2) 3. Prouvez que
ab+bc+ca≤a2+b2+c2 Exercice 13 : D´emontrez que pour tout nombre r´eel x∈R,
jx 2 k
+ x+ 1
2
=bxc
En d´eduire pour tout couple (n, p) d’entiers naturels non nuls, une expression simplifi´ee de la somme
p
X
k=0
x+ 2k 2k+1
Exercice 14 : D´emontrer que pour tout entiern∈N? et pour pour tout nombre r´eelx∈R: bnxc
n
=bxc On pourra commencer par examiner le cas simple o`un= 2.
Exercice 15 : D´emontrez quea=√ 24
q 7 + 4√
3−√ 24
q 7−4√
3 est rationnel.
Exercice 16 : Pour tout nombre r´eelx≥1, simplifiez q
x+ 2√ x−1 +
q x−2√
x−1.
Exercice 17 : On consid`ere l’application f de N? dans Rqui `a tout entier naturel non nul n associe le r´eel f(n) = n−1/n
1 + 1/n.
1. Montrez que l’image directe def est major´ee et minor´ee.
2. D´eterminez la borne sup´erieure et la borne inf´erieure def surN?. 3. Etudiez l’existence d’un maximum et d’un minimum pourf.
4. Prouvez quef est injective et en d´eduire quef(N?) poss`ede une infinit´e d’´el´ements.
Exercice 18 : Soient AetB des parties born´ees deR. D´emontrez que : A⊂B⇒supA≤supB et infA≥infB.
Equations & syst´emes d’´equations
Exercice 19 : R´esoudre dansR2 le syst`eme
lnx2y3 = −4 ln x3/y4) = 11 Exercice 20 : Factorisez dansRles polynˆomes :
1. A(x) =x4+ 3x2+ 2 2. B(x) =x4+x2+ 1 3. C(x) =x3+x−3
4. D(x) =x4+ 2x3−4x2−2x+ 3.
Exercice 21 : R´esoudre dansRl’´equation 5sinx+ 2 5sinx = 3 Exercice 22 : R´esoudre dansRl’´equation (1−√3
x)3+ 125×(3−√3 x)3= 0 Exercice 23 : R´esoudre dansR2 le syst`eme
(x√ 3−y√
2)2 = (2√
3x+ 3√ 2y)2 x3 = (y−1)3
Exercice 24 : R´esoudre dansRl’in´equation 2(lnx)3−5(lnx)2+ 2 lnx≤0.
Exercice? 25 : Discuter suivant les valeurs du param`etre r´eelmles solutions de l’´equation : e2x−4mex+ 2(m+ 1) = 0
Fonctions num´eriques
Exercice 26 : On consid`ere la fonction :
f : R → R
x 7→ max{x+105 ; x−3} . f est-elle bijective ? Si oui, pr´ecisez son application r´eciproque.
Exercice 27 : Soitf : [0,+∞[→Rla fonction d´efinie par :∀x∈R+, f(x) =12x2−32. 1. Tracez la courbe repr´esentative de f dans un rep`ere orthonorm´e.
2. Montrez quef induit une bijection de R+ sur un intervalle `a pr´eciser.
3. D´eterminer l’application r´eciproque def.
Exercice 28 : Etudiez le signe des expressions suivantes en discutant suivant la valeur dex: 1. f(x) =√
x−1−√ 2x−3 2. g(x) =p
|x−1| −p
|2x−3|
3. h(x) =p
|x2−1| −p
|2x2+x−3|
Trigonom´etrie
Exercice 29 :
1. Trouver une relation simple entre cosx−sinxet sin 2x.
2. R´esoudre dansRl’´equation :
2 sin 2x−(√ 6 +√
2)(cosx−sinx) = 2 +√ 3
Exercice 30 : R´esoudre dans [0,2π[ les in´equations 4 cos2x−2(√
2−1) cosx−√
2 > 0 4 sin2x−2(1 +√
3) sinx+√
3 ≤ 0.
Exercice 31 : Soitn∈N?, etx∈R\2π.Z. On noteSn =
n
X
k=1
coskx.
1. Montrez la formule delin´earisation :
2 sinacosb= sin(a+b) + sin(a−b) 2. Calculez 2 sin(x/2)×Sn
3. En d´eduire une expression simple deSn.
4. En vous inspirant de la m´ethode ci-dessus, d´eterminez une expression simplifi´ee de Σn=
n
X
k=1
sinkx.
Exercice? 32 : In´egalit´e de Cauchy-Schwarz
Le but de l’exo est de d´emontrer que pour tout n∈N?et pour tous r´eelsx1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈R
n
X
i=1
xiyi
!2
≤
n
X
i=1
x2i
!
×
n
X
i=1
y2i
!
1. D´emontrez l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz lorsquePn
i=1x2i = 0.
2. On suppose d´esormais quePn
i=1x>i 0. On consid`ereT(λ) =Pn
i=1(λxi+yi)2. (a) D´emontrez queT est un polynˆome de degr´e 2 enλ.
(b) D´emontrez que le discriminant deT est n´egatif ou nul.
(c) D´evelopperT(λ) et conclure.
Exercice 33 : R´esoudreR2 le syst`eme
ln(−x+ 2y) = ln(2x−3y+ 4) 35x+y×3−x−6y = 81
