Fonctions num´ eriques

(1)

Fonctions num´ eriques

Exercice 1

Ensemble de d´efinition d’une fonction

Indiquer sur quelle(s) partie(s) deRles fonctions suivantes sont d´efinies :

1.f^px^q x²4

2 2.f^px^q 2 x²4 3.f^px^q x² x 1

x²14x 49 4.f^px^q

x 1 2

x

Exercice 2 Fonctions ´egales

Les fonctions f etg suivantes sont elles ´egales ?

1.f^px^qx² 4x 4 et g^px^q^px 2q

2

2.f^px^qx²x2 3px2q

et g^px^qx 1 3 3.f^px^q x1

2x5 et g^px^q 1x 52x

Exercice 3

Fonctions paires, impaires.

Etudier la parit´e des fonctions f suivantes : 1.Df Retf^px^q3x

2.Df Retf^px^q x²2 x² 1 3.Df Retf^px^qx²x

4.Df R^zt1; 0; 1^uetf^px^q 4 x³x 5.Df

8;

?

5

Y

?

5; ⁸

et f^px^q

?

x²5 6.Df R etf^px^q 4^|x^|

x

Exercice 4

Repr´esentation graphique d’une fonction

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ^pO;^Ý^Ñi;^Ý^Ñj^q, représenter graphiquement les fonctions f suivantes ; indiquer pour chacune d’elles (par lecture graphique) l’ensemble des solutions de l’équation f(x) = 0 (S1) et de l’inéquation f(x)^¡0 (S2) :

1.f^px^q3x 2 2.f^px^q1x 3.f^px^qx²1 4.f^px^q 2

2x

Exercice 5

Sens de variation d’une fonction

1.Soitf la fonction d´efinie surRparf^px^qx 2.

Etudier les variations de f surR.

2.Soitf la fonction d´efinie surRparf^px^q3x².

Montrer quef est d´ecroissante sur^s⁸; 0^set quef est croissante sur^r0; ^8r

(2)

Correction

Exercice 1

1 Aucun problème de définition def : toutes les valeurs possibles pourxont une image par f. D’où : Df =R

2.f^px^q 2 x²4

f est d´efinie si et seulement si le d´enominateur ne s’annule pas. On cherche donc la (ou les) valeur(s) inter- dite(s) :

x²40 x2 etx2 D’o`u : Df =R^zt2; 2^u 3.f^px^q x² x 1 x²14x 49 x²14x 490

px7^q²0 x7

D’o`u : Df =R^zt7^u. 4.f^px^q

x 1 2x.

Il faut que l’expression sous la racine soit positif ou nul et que le d´enominateur soit non nul : x 1

2x^¥0 et 2x0.

Etudions le signe de x 1 2x : x 1^¤0 si et seulement six^¤1 et 2x^¤0 si et seulement six^¥2 Tableau de signes :

x ⁸ 1 2 ⁸

x 1 0

2x 0

x 1

2x 0 ^||

D’o`u : x^P^r1; 2^r.

Exercice 2

1.Df[/sub] = Dg =R.

On reconnaˆıt l’identit´e remarquable (a + b)²= a² + 2ab + b² Doncf^px^qx² 4x 4^px 2^q²g^px^q

D’o`u : f g

2.Df =R^zt2^uet Dg =R

Or, pour que deux fonctions soient ´egales il faut qu’elles le soient pour TOUTES les valeurs dex. Pourx2, f n’est pas d´efinie etg l’est.

D’o`u : f g 3.Df R^z ⁵₂

(

et Df R^z ⁵₂

(

De plus,f^px^q x1 2x5

px 1^q

p2x 5^q 1x

2x 5 g^px^q

(3)

1.

L’ensemble de définition de la fonctionf est symétrique par rapport à 0.

Pour toutxappartenant `a Df, f^px^q3^px^q3xf^px^q D’o`u : la fonctionf est impaire.

2.

Pour toutxappartenant `a Df,f^px^q^px^q²2

px^q² 1 x²2

x² 1 f^px^q D’o`u : la fonctionf est paire.

3.

Pour toutxappartenant `a Df,f^px^q^px^q²^px^qx² x Donc :f^px^qf^px^qetf^px^qf^px^q.

D’o`u : f n’est ni paire ni impaire.

4.

Pour tout x appartenant `a Df,f^px^q 4

px^q³^px^q

4

px³x^q f^px^q D’o`u : la fonctionf est impaire.

5.

Pour toutxappartenant `a Df,f^px^q

a

px^q²5

?

x²5f^px^q D’o`u : la fonctionf est paire.

6.

Pour toutxappartenant `a Df,f^px^q4^|x^|

x 4^|x^|

x f^px^q D’o`u : la fonctionf est impaire.

Exercice 4 1.

S1^t2

3^uetS2

2 3; ⁸

. 2.

(4)

S1= 1 et S2 = ]-⁸; 1[.

3.

S₁^t1; 1^uetS₂^s⁸;1^rYs1; ^8r. 4.

(5)

S1^Het S2^s⁸; 2^r.

Exercice 5 1.f(x) = -x + 2

Soient a et b deux r´eels tels que a b, alors : -a ^¡-b et -a + 2 ^¡-b + 2

D’o`u : ab entraˆıne f(a)^¡f(b) : f est d´ecroissante surR 2.f(x) = 3x²

Soient a et b deux r´eels de^s⁸; 0^stels que ab ^¤0, alors : f(a) - f(b) = 3a² - 3b² = 3(a² - b²) = 3(a - b)(a + b)

Comme a et b sont deux r´eels n´egatifs, alors a + b0.

Comme a b, alors a - b0.

Donc : 3(a - b)(a + b)^¡0

D’o`u : ab^¤0 entraˆıne f(a)^¡f(b) : f est d´ecroissante sur^s⁸; 0^s.

Soient a et b deux r´eels de^r0; ^8rtels que 0^¤ab, alors : f(a) - f(b) = 3(a - b)(a + b)

Comme a et b sont deux r´eels positifs, alors a + b ^¡0.

Comme a b, alors a - b0.

Donc : 3(a - b)(a + b)0

D’o`u : 0^¤ab entraˆıne f(a)f(b) : f est croissante sur^r0; ^8r.