Cours de math´ematiques
Suites num´eriques
D´efinition 1. Une suite r´eelle (u) est une fonction deN ou d’une partie de N dans R. On appelle terme de rang n de la suite le nombre r´eel un=u(n).
Exemple 1.
1. un=n2+ 1 , n>0 est une suite d´efinie sous forme explicite 2.
u0 = 2
un+1 = (un)2+ 1, n>0 est une suite d´efinie sous forme r´ecurrente.
D´efinition 2. Une propri´et´e d´ependant d’un entier naturel est h´er´editaire lorsque si elle est vraie pour un certain rangn alors elle est vraie pour le rang n+ 1.
Axiome 1. On consid`ere une propri´et´e d´ependant d’un entier naturel. Si cette propri´et´e est vraie pour le rangn0 et h´er´editaire, alors elle est vraie pour tout entier naturel n>n0.
Exercice 1. Prouver par r´ecurrence que pour tout n∈N∗, on a
k=n
X
k=1
k= 1 + 2 + 3 +· · ·+n= n(n+ 1)
2 .
D´efinition 3.
1. La suite (un)n>0 est major´ee si il existe un r´eel M tel que un6M pour tout n>0.
2. La suite (un)n>0 est minor´ee si il existe un r´eel m tel queun>m pour tout n>0.
3. La suite (un)n>0 est born´ee si elle est minor´ee et major´ee.
Exemple 2. La suite un= 2n+ 1
n+ 1 , n>0 est born´ee.
D´efinition 4.
1. La suite (un)n>0 est constante siun+1=un pour tout n>0.
2. La suite (un)n>0 est croissante siun+1>un pour tout n>0.
3. La suite (un)n>0 est d´ecroissante si un+16un pour tout n>0.
4. La suite (un)n>0 est monotone si elle est croissante ou d´ecroissante.
Exemple 3. La suite un= 3n+ 4est croissante. (on pourra utiliser la croissance de la fonctionf(x) = 3x+ 4)
Propri´et´e 1.
1. Une suite(un)n>0 est croissante si et seulement si un+1−un>0 pour tout n>0.
2. Une suite(un)n>0 est d´ecroissante si et seulement si un+1−un 60 pour tout n>0.
3. Une suite(un)n>0 strictement positive est croissante si et seulement si un+1
un
>1 pour tout n>0.
4. Une suite(un)n>0 strictement positive est d´ecroissante si et seulement si un+1
un
61 pour tout n>0.
D´emonstration. au programme.
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Cours de math´ematiques Suites num´eriques
D´efinition 5. Une suite (un)n>0 est dite convergente vers un r´eel l si tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite `a partir d’un rang n0. Une suite qui ne converge pas est dite divergente Exemple 4.
La suiteun= 2n+ 1
n+ 1 , n>0 converge vers 2.
La suiteun=n2+ 1 , n>0 diverge.
La suiteun= (−1)n , n>0 diverge.
Propri´et´e 2. Si une suite (un)n>0 converge alors il existe un unique r´eel l vers lequel elle converge,l est appel´e limite de la suite (un) et on note :
n→+∞lim un=l D´emonstration. au programme en raisonnant par l’absurde.
Th´eor`eme 1. Une suite convergente est born´ee.
D´emonstration. au programme.
La r´eciproque de ce th´eor`eme est fausse !
Contre-exemple 1. La suite born´ee un= (−1)n , n>0 diverge.
On peut cependant ´enoncer le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2. Th´eor`eme de convergence monotone
1. Une suite croissante major´ee converge.
2. Une suite d´ecroissante minor´ee converge.
D´emonstration. admis.
D´efinition 6.
1. Une suite (un)n>0 diverge vers +∞ si tout intervalle de la forme ]A; +∞[ , A ∈R contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang n0. On note :
n→+∞lim un= +∞
2. Une suite (un)n>0 diverge vers −∞ si tout intervalle de la forme ]− ∞;A[ , A∈R contient tous les termes de la suite `a partir d’un certain rang n0. On note :
n→+∞lim un=−∞
Exemple 5. La suite un=n2+ 1, n>0 diverge vers+∞. Propri´et´e 3.
1. Une suite croissante non major´ee diverge vers +∞. 2. Une suite d´ecroissante non minor´ee diverge vers −∞. D´emonstration. au programme.
D´efinition 7. Les suites (un)n>0 et(vn)n>0 sont dites adjacentessi : – (un) est croissante et (vn) d´ecroissante.
– la suite (vn−un) converge vers0.
Exemple 6. Les suitesun= 2−1
n , n>1 etvn= 2 + 1
n , n>1sont adjacentes.
Propri´et´e 4. Si deux suites (un)n>0 et (vn)n>0 sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) d´ecroissante alors un6vn pour tout n>0.
D´emonstration. au programme en raisonnant par l’absurde et en utilisant un passage `a la limite.
Propri´et´e 5. Deux suites adjacentes convergent et ont mˆeme limite.
D´emonstration. au programme en utilisant le th´eor`eme de convergence monotone.
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