Suites num´eriques et limites

Suites num´ eriques et limites

^{T ST I2D}

Exercice 1

Je d´ecide de placer 10 000 euros sur un compte ´epargne r´emun´er´e `a 4% `a int´erˆets compos´es.

1. Quel est le montant dont je dispose au bout de une ann´ee ? de deux ann´ees ? de dix ann´ees ? 2. Au bout de combien d’ann´ees mon capital aura-t’il doubl´e ?

3. Combien d’ann´ees faudra-t’il attendre pour avoir un capital de 50 000 euros ?

Exercice 2

Soit (u_n) une suite d´efinie pour tout n∈IN par u_n =n²+n−1.

1. Exprimer en fonction de n : a) u_n−1 b) un+1 c) un+1−u_n 2. La suite (un) est-elle g´eom´etrique ?

Exercice 3

Soit (u_n) la suite d´efinie pour tout entier naturel n non nul par u_n= n+ 1 n²+ 1. 1. D´eterminer la fonction f telle queu_n =f(n).

2. Etudier le sens de variation de f et en d´eduire celui de (u_n).

3. Calculer u10, u100, u10 000, u₁₀⁸ et u₁₀¹⁸.

Que peut-on dire des valeursu_n lorsque n devient de plus en plus grand ?

Exercice 4

Mˆeme exercice avec les suites (un) d´efinies par les expressions suivantes : 1)u_n= n²−1

n²+ 1. 2) u_n= 3n²+ 4n−5. 3)u_n=−n³+ 6n²−9n+ 5.

Exercice 5

(u_n) est la suite d´efinie paru0 = 3 et, pour tout entier n, u_n+1 = 3u_n 3 + 2un

. Calculer les premiers termes u1, u2,u3,u4, puis u10,u100, u1000.

Quel semble ˆetre le comportement des valeurs u_n lorsque n devient de plus en plus grand ?

Exercice 6

^(un) est la suite d´efinie paru0 = 1 et, pour tout entier n, un+1 = 2

3u_n− 1 6. Calculer les premiers termes u₁, u₂,u₃,u₄, puis u₁₀,u₁₀₀, u₁₀₀₀.

Quel semble ˆetre le comportement des valeurs u_n lorsque n devient de plus en plus grand ?

Exercice 7

On consid`ere les deux suites (un) et (vn) d´efinies par u_n= 0,9999ⁿ etv_n= 1,0001ⁿ. 1. Montrer que ces deux suites sont des suites g´eom´etriques, en precisant leurs premier terme et raison.

2. Indiquer la valeur de n `a partir de laquelle on a :

a)u_n60,9 b) u_n60,5 c)u_n60,1 d) u_n610⁻³ e)u_n610⁻⁶ f) u_n610⁻⁹ 3. De mˆeme, indiquer la valeur de n `a partir de laquelle on a :

a)v_n>2 b)v_n>10 c) v_n >10³ d)v_n >10⁶ e) v_n >10⁹ f) v_n >10³⁰ 4. Quel semble ˆetre le comportement de ces deux suites lorsque n devient de plus en plus grand ?

I - Limite d’une suite

1) D´ efinition et exemples

D´efinition On dit que (un) a pour limite +∞ lorsque n tend vers +∞ lorsque pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang `a partir duquel tous les termes u<sub>n</sub> sont sup´erieurs `a 10^p.

On note lim

n→+∞u_n= +∞.

Par exemple, lim

n→+∞1,0001ⁿ= +∞ (cf. exercice 7).

Le rang ”`a partir duquel tous les termes sont sup´erieurs `a A” est un seuil : pour n inf´erieur `a ce seuil, les termesu<sub>n</sub> peuvent prendre n’importe quelles valeurs ; par contre, d`es que nlui est sup´erieur, les valeurs u_n ne sont plus jamais inf´erieures `a 10^p.

Exercice 8

On d´efinit la suite (u_n) par l’expression u_n=n²−20n, pour tout entier naturel n. 1. D´emontrer que pour tout entier n,u_n = (n−10)²−100.

2. D´eterminer `a partir de quel rang n on a u<sub>n</sub>>10<sup>6</sup>. 3. D´eterminer `a partir de quel rang n on a u_n>10¹².

4. Soit pun entier naturel quelconque. D´eterminer `a partir de quel rang n on a u<sub>n</sub> >10<sup>p</sup>. Conclure quant `a la limite de la suite (un).

D´efinition On dit que la suite (u_n) a pour limite l, ou converge vers le r´eel l, lorsque pour tout entier naturel p, on peut trouver un rang `a partir duquel tous les termes u<sub>n</sub> sont `a une distance de l inf´erieure `a 10^−p.

On note lim

n→+∞u_n=l. Par exemple, on a lim

n→+∞

n+ 1

n²+ 1 = 0 (cf. exercice 3), et lim

n→+∞

n²−1

n²+ 1 = 1 (cf. exercice 4).

Exemple : Soit la suite (u_n) d´efinie pour n >1 par u_n = 1 n + 1.

n u_n

×

1

×

2

×

3

×

4

×

5

×

6

×

7

l = 1 distance

inf´erieure `a 10^−p

Soit par exemple pour p = 2, la distance d = 10⁻² = 0,01. La valeur u_n est `a une distance de l = 1 inf´erieure `a d siu_n est dans l’intervalle ouvert I =]0,99 ; 1,01[. Alors,

|u_n−1|60,01 ⇐⇒ 0,99< u_n<1,01 ⇐⇒ 0,99< 1

n + 1<1,01

⇐⇒ −0,01< 1

n <0,01 ⇐⇒ n > 1

0,01 = 100

Ainsi, d`es que n >100, tous les termes u_n sont dans l’intervalle ouvert I =]0,99 ; 1,01[.

On note lim

n→+∞

u_n = 1.

Exercice 9

Soit la suite (un) d´efinie paru_n= 10⁶

n+ 1, pour tout n∈IN.

1. Donner les valeurs des premiers termes u0,u1,u2, puis de u10, u100,u10⁴, u10⁶. Quel semble ˆetre le comportement des valeurs u_n lorsque n devient grand ? 2. D´eterminer `a partir de quel rang n on a u_n6 1

100. 3. D´eterminer `a partir de quel rang n on a u_n610⁻⁶.

4. Soit pun entier naturel quelconque, d´eterminer `a partir de quel rang n on a u<sub>n</sub>610<sup>−p</sup>. Conclure quant `a la limite de la suite (u_n).

Exercice 10

Soit (u_n) la suite d´efinie pour tout entier n par u_n= n−2 n+ 2. 1. D´emontrer que, pour tout entier n, u_n−1 = −4

n+ 2. 2. D´eterminer `a partir de quel rang n on a |u<sub>n</sub>−1|610<sup>−3</sup>. 3. D´eterminer `a partir de quel rang n on a |u_n−1|610⁻⁹.

4. Soit pun entier naturel quelconque, d´eterminer `a partir de quel rang n on a |u<sub>n</sub>−1|610<sup>−p</sup>. Conclure quant `a la limite de la suite (u_n).

2) Limites usuelles

Propri´et´e lim

n→+∞

√n= +∞ ; lim

n→+∞n = +∞ ; lim

n→+∞n² = +∞ ; lim

n→+∞n³ = +∞ et plus g´en´eralement, pour tout entier p non nul lim

n→+∞n^p = 0.

3) Op´ erations sur les limites

(un) et (vn) sont deux suites, et L et L^′ sont deux r´eels.

Le point d’interrogation correspond `a une forme ind´etermin´ee, c’est-`a-dire un cas o`u on ne peut pas conclure directement.

Th´eor`eme Limite de la somme u_n+v_n lim

n→+∞

u_n= L L L +∞ −∞ +∞

lim

n→+∞v_n = L^′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

lim

n→+∞

u_n+v_n= L+L^′ +∞ −∞ +∞ −∞ ? Exemple : Soit (u_n) la suite d´efinie sur IN^∗ par u_n= 3 + 2n− 1

n³. On a :

• lim

n→+∞3 = 3

• lim

n→+∞2n = +∞

• lim

n→+∞

1 n³ = 0











Par addition des limites lim

n→+∞u_n= +∞

Th´eor`eme Limite du produit u_n×v_n lim

n→+∞u_n= L L6= 0 +∞ ou −∞ 0

lim

n→+∞

v_n = L^′ +∞ ou −∞ +∞ ou −∞ +∞ ou −∞

lim

n→+∞u_n×v_n= L×L^′

+∞ ou −∞

(r`egle des signes du produit)

+∞ ou −∞

(r`egle des signes du produit)

?

Exemple : Soit (un) la suite d´efinie sur IN^∗ par u_n=

2 + 1 n

(1 +n²).

Par limite des sommes, lim

n→+∞

2 + 1

n

= 2, et lim

n→+∞ 1 +n²

= +∞. Ainsi, par limite de produit, lim

n→+∞u_n= +∞.

Th´eor`eme Limite de l’inverse 1 u_n lim

n→+∞u_n= L6= 0 0 par valeurs positives 0 par valeurs n´egatives +∞ ou −∞

lim

n→+∞

1

u_n = 1

L +∞ −∞ 0

Soit (u_n) la suite d´efinie sur IN^∗ par u_n= 1 n²+√

n. Par limite de somme, lim

n→+∞n²+√

n = +∞, et donc, lim

n→+∞u_n= 0.

Th´eor`eme Limite du quotient u_n v_n lim

n→+∞u_n= L L +∞ ou −∞ L6= 0 ou +∞ ou −∞ 0 +∞ ou −∞

lim

n→+∞v_n = L^′ 6= 0 +∞ ou −∞ L^′ 6= 0 0 0 +∞ ou −∞

lim

n→+∞u_n×v_n= L

L^′ 0 +∞ ou −∞

+∞ ou −∞

(r`egle des signes du produit)

? ?

M´ethode en cas de forme ind´etermin´ee :On essaye dans ce cas de lever l’ind´etermination en trans- formant l’expression (factorisation, d´eveloppement, . . .)

Par exemple, soit la suite (u_n) d´efinie sur IN paru_n =n²−2n+ 4.

On a : lim

n→+∞n² = +∞, et lim

n→+∞−2n =−∞, donc on a une forme ind´etermin´ee pour la limite de la somme.

N´eanmoins, u_n =n²

1− 2n n² + 4

n²

=n²

1− 2 n + 4

n²

, avec lim

n→+∞n² = +∞, et lim

n→+∞

1− 2

n + 4 n²

= 1, d’o`u, par produit des limites lim

n→+∞u_n= +∞.

Remarque :n² est le terme dominant en +∞ dans l’expression de u_n. C’est lui qui impose son compor- tement en +∞, ce qui apparaˆıt clairement quand on le factorise.

Exercice 11

Dans chacun des cas suivants, d´eterminer la limite de la suite (un) : a) u_n=n³+1

n b) u_n= (3n+ 1)(−7n+ 5) c) u_n= 3− 4

2n n²

d) u_n=n³−n²−1 e) u_n= 2n²+ 1

−n²+ 6 f) u_n= n²+ 3n−5

n³−6n²+ 1 g) u_n= 9−n²

(n+ 1)(2n+ 1) h) u_n= 1

3− n

2n+ 1 i) u_n = 2

3n − 2n²+ 3 3n²+n+ 1

II - Suites g´ eom´ etriques

1) D´ efinition et expression du n-i` eme terme

D´efinition Une suite g´eom´etrique est une suite num´erique dont chaque terme s’obtient en multipliant le pr´ec´edent par le mˆeme nombre q.

Cette constante q s’appelle la raison de la suite.

Propri´et´e Si (un)est une suite g´eom´etrique de premier terme u0 et de raison q, alors, pour tout entier naturel n, on a u_n=u0qⁿ.

Remarque : si la suite commence `a u1, alors on a u_n =u1qⁿ⁻¹; si la suite commence au rang n= 10, alors u_n=u₁₀qⁿ⁻¹⁰, . . .et plus g´en´eralement, pour tous entiers n et p,u_n=u_pq^n−p.

Exercice 12

Soit (u_n) la suite g´eom´etrique d´efinie paru0 = 8 et pour tout entiern parun+1 =−1 2u_n. 1. Calculer u1, u2, u3,u4 et u5.

2. Exprimer u_n en fonction den.

Exercice 13

Une population de bact´eries double chaque jour. Il y a initialement 1000 bact´eries.

On noteu_n le nombre de bact´eries le n^i`eme jour.

1. Quelle est la nature de la suite (u_n).

2. D´eterminer le nombre de bact´eries pr´esentent au bout de 3 jours, puis au bout de 10 jours.

3. Au bout de combien de jours, la population sera-t’elle sup´erieure `a 10 000 000.

Exercice 14

On place un capital de 10 000 euros avec int´erˆets compos´es au taux de 2,3% par an. Cela signifie que les int´erˆets d’une ann´ee s’ajoutent au capital et produisent `a leur tour des int´erˆets l’ann´ee suivante.

On noteC_n le capital acquis au bout de n ann´ees. En particulier C0 = 10 000 euros.

1. Calculer C1,C2 etC3.

2. Donner pour tout entier n l’expression de Cn+1 en fonctin de C_n.

En d´eduire que (C_n) est une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera la raison.

3. Donner l’expression de C_n en fonction de n.

4. Au bout de combien d’ann´ees le capital initial aura-t’il doubl´e ?

Exercice 15

On dispose d’une citerne d’un volume de 1500 litres remplie au deux tiers.

Chaque jour, 5% de son contenu s’´evapore.

On notev_n le volume d’eau contenu dans la citerne au bout de n jours.

1. Donner la valeur de v0, le volume initial d’eau dans la citerne, puis de v1 etv2. 2. Quelle est la nature de la suite (vn).

3. Peut-on arroser, apr`es dix jours, 65 arbustes, chacun de ceux-ci n´ecessitant 10 litres d’eau ?

Exercice 16

Un groupe industriel d´ecide de r´eduire progressivement sa quantit´e de rejets de 4% par an. L’objectif du groupe est de diminuer globalement ses rejets, de 50 000 tonnes par an en 2010, `a une quantit´e inf´erieur `a 30 000 tonnes en 10 ans.

1. Quelle est la quantit´e de rejets du groupe en 2011 ? en 2012 ? 2. On note r_n la quantit´e de rejets l’ann´ee ”2010 +n”.

a) Exprimer rn+1 en fonction de r_n. Quelle est la nature de la suite r_n? b) Exprimer alors r_n en fonction de n.

c) Calculer, `a la tonne pr`es, la quantit´e de rejets en 2020.

L’objectif global annonc´e est-il atteint ?

3. Un taux annuel de diminution de 5% permettrait-il de respecter la norme ?

2) Somme des termes cons´ ecutifs d’une suite g´ eom´ etrique

On cherche `a calculer la somme S_n= 1 +q+q²+· · ·+qⁿ. En multipliant cette somme par (1−q) on obtient

S_n(1−q) = (1 +q+q²+· · ·+qⁿ) (1−q) = (1 +q+q²+· · ·+qⁿ)×1−q(1 +q+q²+· · ·+qⁿ)

= 1 +q+q² +· · ·+qⁿ−q−q²−q³− · · · −qⁿ⁺¹

= 1−qⁿ⁺¹ ainsi, on obtient :

Propri´et´e Pour q6= 1, S_n = 1 +q+q²+· · ·+qⁿ= 1−qⁿ⁺¹ 1−q

On peut alors ´etendre ce r´esultat aux suites g´eom´etriques : soit (un) une suite g´eom´etrique de premier termeu0 et de raison q 6= 1.

Alors, on a pour tout entier n,u_n =u0×qⁿ, et

S_n=u0+u1+u2+· · ·+u_n =u0+u0q+u0q²+· · ·+u0qⁿ=u0 1 +q+q²+· · ·+qⁿ soit donc, avec le r´esultat pr´ec´edent

Propri´et´e Si (un) est une suite g´eom´etrique de premier terme u0 et de raisonq 6= 1, alors S_n=u0+u1+u2+· · ·+u_n=u0

1−qⁿ⁺¹ 1−qⁿ ou encore,

S_n= (1er terme)× 1−raisonnombre de termes

1−raison

Exercice 17

Soit la suite g´eom´etrique (un) d´efinie paru0 = 27 et pour tout entiernparun+1 =−1 3u_n. 1. Calculer la somme S10=u0+u1+· · ·+u10.

2. Exprimer u_n en fonction n, puis la somme S_n =u0+u1+· · ·+u_n. Quel semble ˆetre la limite deS_n?

Exercice 18

(un) est une suite g´eom´etrique telle que u2 = 4 etu4 = 16 9 . Calculer la somme S15 =u0+u1+· · ·+u15.

3) Limite d’une suite g´ eom´ etrique

Th´eor`eme Soit q un r´eel, alors

• Si −1< q <1, alors la suite (qⁿ) converge vers 0 : lim

n→+∞qⁿ= 0.

• Si q >1, alors la suite (qⁿ) diverge vers +∞ : lim

n→+∞qⁿ = +∞.

• Si q6−1, alors la suite (qⁿ) n’a pas de limite

• Si q = 1, alors la suite (qⁿ) est constante, qⁿ = 1 pour tout entier n, et donc aussi, lim

n→+∞qⁿ= 1.

Par exemple, pourq= 0,9999, on a−1< q <1 et lim

n→++∞0,9999ⁿ= 0 et de mˆeme, pourq = 1,0001, on a q >1, et lim

n→++∞1,0001ⁿ= +∞ (cf. exercice 7).

Exercice 19

D´eterminer la limite des suites d´efinies par les expressions suivantes : a)u_n = 3×2,3ⁿ b) u_n=−600×0,2ⁿ+ 0,003 c)u_n = 2 + 0,98ⁿ

3×0,97ⁿ+ 6 d) u_n= 3×(−1,3)ⁿ