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Introduction aux suites num´eriques

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Introduction aux suites num´ eriques

Int´erˆets simples et compos´es On dispose d’un capital de 1 000 euros que l’on peut placer de deux fa¸cons diff´erentes :

`a int´erˆets simples au taux annuel de 10%. Cela signifie que, chaque ann´ee, on percevra le mˆeme int´erˆet I ´egal `a 10% du capital de d´epart.

`a int´erˆets compos´es au taux annuel de 4%. Cela signifie que, chaque ann´ee, le capital acquis aug- mente de 4% par rapport au capital de l’ann´ee pr´ec´edente.

On notesn le capital acquis au bout den ann´ees avec un taux d’int´erˆets simples, etcnle capital acquis au bout de n ann´ees avec un taux d’int´erˆets compos´es.

Ainsi, s0 =c0 = 1000 est le capital initial,s1 et c1 sont les capitaux `a la fin de la premi`ere ann´ee, s2

etc2 `a la fin de la deuxi`eme ann´ee . . . 1. Calculer s1, s2,s3 etc1,c2, c3. 2. Calculer s20 etc20.

3. D´eterminer, au bout de 50 ans, lequel des deux placements est le plus avantageux.

4. Au bout de combien d’ann´ees, le capital acquis atteindra-t-il 10 000 euros avec chacun de ces deux placements.

Approximation de la valeur de π. Une des premi`eres utilisations d’une suite de nombres est due `a Archim`ede (physicien, math´ematicien et ing´enieur grec du 3`eme si`ecle avant J.C.), dans le but de trouver la valeur de π.

Son id´ee ´etait la suivante : le nombre π ´etant, par d´efinition, le rapport entre la circonf´erence d’un cercle et son diam`etre, il suffit pour le d´eterminer de calculer cette circonf´erence.

Il proposa de proc´eder par ´etapes qui donnent autant d’approximations successives et de plus en plus proches de la valeur exacte de π :

— calculer le p´erim`etre d’un triangle ´equilat´eral inscrit dans un cercle ;

— calculer le p´erim`etre d’un hexagone r´egulier inscrit dans le cercle ;

— calculer le p´erim`etre d’un dod´ecagone r´egulier inscrit dans le cercle ;

— . . . et ainsi de suite en doublant `a chaque ´etape le nombre de cˆot´es du polygˆone r´egulier inscrit dans le cercle.

Dans toute la suite on consid`ere un cercle de rayon 1 (cercle trigonom´etrique).

A chaque ´etape, pour chaque valeur de l’entiern correspondant, on noteH le milieu de [AB], l’angle αn =AOH, la longueur\ ln=AH, et Pn le p´erim`etre du polygˆone r´egulier.

Comme le cercle a pour rayon 1, la valeur approch´ee de π est alors donn´ee, `a chaque ´etape, par π ≃πn = Pn

2 .

Compl´eter les valeurs suivantes (indication : dans chacun des cas, quelle est la nature du triangle AOB, et donc du triangle AOH?).

Y. Morel - xymaths.free.fr Introduction aux suites num´eriques - 1/2

(2)

1`ere approximation, n= 1 Triangle ´equilat´eral inscrit

dans un cercle.

O

A B

C

Nombre de cˆot´es : . . . AOB[ = . . .

α1 = . . . l1 = . . . P1 = . . . π1 = . . .

2`eme approximation, n= 2 Hexagone r´egulier inscrit

dans un cercle.

O

A B

Nombre de cˆot´es : . . . AOB[ = . . .

α2 = . . . l2 = . . . P2 = . . . π2 = . . .

3`eme approximation, n = 3 Dod´ecagone r´egulier inscrit dans un cercle.

O

A B

Nombre de cˆot´es : . . . AOB[ = . . .

α3 = . . . l3 = . . . P3 = . . . π3 = . . .

n`eme approximation Cas g´en´eral d’un polygˆone r´egulier `a . . . cˆot´es inscrit dans un cercle.

αn= . . . ln= . . .

Pn= . . . πn= . . .

Montrer que l’on obtient l’approximation de π : πn= 1

23.2n sinαn=πsinαn

αn

Limite de πn lorsque n →+∞

Lorsque n→+∞, 2n →+∞, et donc, lim

n→+

3.2n = lim

n→+

αn = 0.

D’apr`es l’expression deπn, on cherche donc la limite de l’expression lim

n→+

sinαn

αn

, ou encore d’apr`es la remarque pr´ec´edente la limite sinx

x lorsque x→0.

Soit f une fonction. Que repr´esente le quotient f(x)−f(0)

x−0 ? et la limite lim

x→0

f(x)−f(0) x−0 ? En d´eduire alors, en choisissant la fonctionf(x) = sinx, lim

x→0

sinx

x , puis lim

n→∞

πn. Calculer π1, π23, π4 et π5.

Y. Morel - xymaths.free.fr Introduction aux suites num´eriques - 2/2

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