Calculer de deux fa¸cons diff´erentes la loi de X =−log(1−U)

TD DE MOD `ELES LIN ´EAIRES I - S ´ERIE 1 : RAPPELS

Exercice 1.

1) SoitU de loi uniforme sur [0,1]. Calculer de deux fa¸cons diff´erentes la loi de X =−log(1−U).

2) SoitF une fonction de r´epartition continue et strictement croissante, etU de loi uniforme sur [0,1]. Quelle est la loi de la variable al´eatoireF⁻¹(U), o`uF⁻¹ est la fonction r´eciproque deF ?

Exercice 2. Une variable al´eatoire est dite de loi Gamma de param`etres α et λ (α > 0, λ > 0), not´ee Γ(α, λ), si sa loi a la densit´e:

f(x;α, λ) = λ^α

Γ(α)x^α−1e^−λx11_(0,+∞)(x), o`u ∀α >0, Γ(α) =

Z ∞

0

x^α−1e^−xdx.

1) Soit X une variable al´eatoire r´eelle de loi Γ(α, λ) . Calculer sa transform´ee de Laplace. Calculer sa moyenne et sa variance par deux m´ethodes.

2) SoitX une variable al´eatoire r´eelle de loiN(0,1). Donner la loi deX².

3) SoientX etY deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de lois respectives Γ(α₁, λ) et Γ(α₂, λ).

a) Donner la loi deX+Y. b) Montrer queX+Y et X

X+Y sont ind´ependantes et calculer leur loi de probabilit´e.

4) SiX₁, ..., X_n sont n variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et de mˆeme loi exponentielle de param`etre λ, donner la loi de la sommeS_n=X₁+...+X_n.

5) SiY1, ..., Ynsont n variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes de loiN(0,1), donner la loi de probabilit´e de Z=Y₁²+...+Y_n² et calculer sa transform´ee de Laplace, sa moyenne et variance.

Rappels: Γ(1/2) =√

π,

Γ(α+ 1) =αΓ(α),∀α >0, B(α1, α2) =

Z 1

0

u^α1−1(1−u)^α2−1du= Γ(α₁)Γ(α₂)

Γ(α1+α2),∀α1, α2>0,

La densit´e d’une loiβ(a, b),a, b >0, estf(x) =_Γ(a)Γ(b)^Γ(a+b)x^a−1(1−x)^b−110≤x≤1.

Exercice 3. SoientX etξdeux variables al´eatoires ind´ependantes, ayant des moments d’ordre 2 finis, avec E(X) =E(ξ) = 0.

1) On poseY =h(X) +ξ, o`uhest une fonction bor´elienne `a valeurs r´elles. Montrer queE(Y /X) =h(X), et qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour que cette ´egalit´e soit vraie est queE(ξ/X) = 0.

2) On poseY =bX+ξ, o`ub est un r´eel. Montrer que

E(Y /X) = Cov(Y, X) V ar(X) X.

3) On poseY =X²+ξ, et on suppose que la loi de X est sym´etrique. Montrer queE(Y /X) = X², mais queCov(Y, X) = 0.

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