ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 6 4 janvier 2016
Exercice I.
On considère la fonction f dénie sur R∗+ parf(x) =ex+ 1
x −x3+x2−4. 1. Justier brièvement la continuité de f surR∗+.
2. a. Calculer lim
x→0+f(x).
b. f est-elle prolongeable par continuité en 0? c. Que peut-on en déduire graphiquement ? 3. a. Calculer lim
x→+∞f(x).
b. Calculer une valeur approchée de f(1)au dixième. (On rappelle que e'2.7)
c. En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, expliquer pourquoi l'équation f(x) = 0 admet des solutions.
Exercice II.
1. Calculer lim
x→+∞ ln(x)−3x5+ 1
. (réservé DS2≤5) 2. Calculer lim
x→+∞xln x1 + 1
. (On pourra faire un changement de variable.) (réservé5< DS2≤8) 3. Calculer lim
x→0−
x3+|x|
2x4+x et lim
x→2
x2−4
x2−3x+ 2. (réservé 8< DS2≤10) 4. Calculer lim
x→+∞
px+√ x+√
√ x
x+ 1 et lim
x→0xEnt(1
x) (réservé DS2>10) Exercice III. (facultatif)
Quelques autres limites : 1. Calculer lim
x→−∞
ex−e−x
ex+e−x (Penser à factoriser.) 2. Calculer lim
x→+∞(√
x2+ 1−x) (On pourra utiliser l'expression conjuguée.) 3. Calculer lim
x→−∞
ln(x2+ 2) x+ 1 4. Calculer lim
x→+∞
√x
[ln(x4)]3 5. Calculer lim
x→0xln(1+x) (On pourra passer à l'exponentielle...)
1/4
Exercice IV. (facultatif)
Soit la fonctionf dénie parf(x) =xp 5−x2.
On noteCf la courbe représentative def. On donne√
2'1.41 et√
5'2.23 1. a. Montrer que son ensemble de dénition est Df = [−√
5;√ 5].
b. Calculerf(0).
c. Justier brièvement la continuité de f surDf.
d. Etudier la parité de f. Graphiquement, que cela signie-t-il ? e. Montrer quef(x) est du signe dex.
2. a. Dériver f, et montrer quef0(x) = 2q
5
2 −x q
5 2 +x
√
5−x2 . b. f0 est-elle dénie surDf?
c. En déduire l'étude des variations de f sur Df. d. Quels sont les extrema def?
3. a. Calculer lim
x→√ 5
f0(x). (On admet que cela implique que la tangente àCf en √
5est verticale.) b. Déterminer l'équation de la tangente à Cf à l'origine.
c. Quels sont les points où la tangente àCf est horizontale ? 4. a. Justier l'encadrement 1.5≤q
5 2 ≤1.6
b. L'équation f(x) = 1admet-elle des solutions ? Justier.
5. On prendra dorénavantq
5
2 '1.58
Tracer l'allure deCf, en s'aidant des tangentes.
Exercice V. (facultatif) CB1 2013/2014.
On considère les suites (un)n∈N et(vn)n∈Ndénies par u0 =v0= 1 et :
∀n∈N,
un+1 = 2 3un+1
2vn
vn+1 = 1 3un+1
2vn
1. Montrer que ∀n∈N, un+vn= 2.
2. On dénit la suite (wn)n∈N par ∀n∈N, wn=vn−4 5.
a. Montrer que(wn)n∈Nest géométrique. (On utilisera notamment la question 1.) b. En déduire le terme général de la suite(wn)n∈N.
c. Déterminer alors (vn)n∈N en fonction den. d. En déduire que ∀n∈N, un= 6
5 −1 5 ×
1 6
n
.
3. Déterminer la limite de chacune des suites (un)n∈Net(vn)n∈N. 4. Calculer la somme S=
10
X
k=1
uk.
5. Créer un programme Scilab qui demande un entier nà l'utilisateur, puis calcule et acheun etvn. 2
Exercice VI. (facultatif) CB1 2013/2014.
Les formules littérales du cours devront apparaître clairement dans les calculs.
On lance trois fois successivement un dé équilibré, classique à six faces numérotées de 1 à 6.
On considère les évènements suivants : A= {le premier lancer donne un 6 }
B = {les deuxième et troisième lancers donnent un 6 } C= {les trois lancers donnent le même numéro}
1. Déterminer quels évènements sont indépendants, en les prenant 2 à 2.
2. A,B etC sont-ils indépendants (dans leur ensemble) ? Exercice VII. (facultatif)
CB1 2013/2014.
Les formules littérales du cours devront apparaître clairement dans les calculs.
Une urne contient au départ deux jetons rouges et un jeton bleu.
On eectue des tirages dans l'urne de la façon suivante :
si le jeton tiré est rouge, on le remet dans l'urne avec un autre jeton rouge.
si le jeton tiré est bleu, on le remet dans l'urne avec deux autres jetons bleus.
On note, pourk∈N∗, Bk= {Le ke jeton tiré est bleu}.
1. Calculer P(B1), montrer queP(B2) = 11
30, et calculer P(B3).
2. Sachant que le deuxième jeton tiré est bleu, quelle est la probabilité que le premier jeton tiré ait été bleu ? 3. Sachant que le deuxième jeton tiré est rouge, quelle est la probabilité que le troisième jeton tiré soit bleu ? dénition d'une probabilité conditionnelle : PA(B) = P(A∩B)
P(A) . formule des probabilités composées : P(A∩B) =P(A)PA(B). formule des probabilités totales : P(B) =P(A)PA(B) +P(A)PA(B). Pour les formules générales (plus de 2évènements), voir par exemple sur le net.
3
Exercice VIII. (facultatif) CB1 2013/2014.
Partie A.
Soitg la fonction dénie sur R+ par g(x) =ex(2−x)−2. On donne e'2.7
1. Calculer g(0). 2. Calculer lim
x→+∞g(x).
3. Justier brièvement la continuité de g surR+. 4. Montrer que ∀x≥0, g0(x) =ex(1−x). 5. En déduire le tableau de variations deg.
6. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution non nulle, que l'on noteraα. 7. En déduire le signe de g surR+.
Partie B.
Soitf la fonction dénie surR∗+ par f(x) = x2 ex−1. 1. Justier brièvement la continuité de f surR∗+. 2. f est-elle prolongeable par continuité en 0? Justier.
3. Calculer lim
x→+∞f(x).
4. Que peut-on en déduire graphiquement ? 5. Montrer que ∀x >0, f0(x) = xg(x)
(ex−1)2. 6. En déduire le tableau de variations def. 7. Montrer que f(α) =α(2−α).
8. Tracer la courbe représentative def sur l'annexe. (On donne α'1.6) Partie C.
On considère la suite (un)n∈Ndénie par u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 =f(un). 1. Calculer u1.
2. Montrer par récurrence que ∀n∈N, 0< un≤1. 3. Montrer que la suite (un)n∈N est décroissante.
4. Que peut-on déduire des questions précédentes ? Justier.
4
