Calculer lim x

ECE 1 MATHEMATIQUES

Devoir Maison 6 5 janvier 2015

Exercice I. (principale : T, secondaire : C) réservé DS2≤7 1. Calculer lim

x→−∞

x²+ 3−1 x

. 2. Calculer lim

x→0

1−e^x 2x .

Exercice II. (principales : T,C,R) 1. Calculer lim

x→1

ln(x) x−1. 2. Calculer lim

x→0(1 +x)^ln(x).

Problème. (principales : T,C, secondaire : A) On considère la fonctionf dénie surR^∗+ par f(x) =







−x

ln(x) , si 0< x <1 etx >1 0 , si x= 1

1. Calculer f(e).

2. Justier brièvement la continuité de f sur]0; 1[et sur]1; +∞[. 3. f est-elle continue en1? Justier.

4. a. Calculer lim

x→0x>0

f(x).

b. Peut-on prolongerf par continuité en 0? 5. Calculer lim

x→+∞f(x).

6. Montrer que ∀x∈]0; 1[∪]1; +∞[, f⁰(x) = 1−ln(x) (ln(x))² . 7. a. Résoudre l'équation 1−ln(x) = 0.

b. En déduire l'étude des variations def. 8. C_f admet-elle une asymptote ? Justier.

9. Tracer l'allure de C_f.

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