lim x→+∞x.2x= lim x→+∞x.exln 2

Douala Mathematical Society DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

www.doualamaths.com ANNÉE SCOLAIRE 2013-2014

Classe T^leCCoef : 6

EXERCICE RESOLU : N^◦1111214

Exercice

Etudier et représentez la fonction f dénie par :f(x) =x.2^x Résolution

Pour tout x∈R,f(x) =xe^{xln 2}

¦ Dérivabilité :

La fonction f est dérivable sur Ret pour tout réelx,f⁰(x) =e^{xln 2}+xln 2e^{xln 2}= (1 +xln 2)2^x Pour tout x∈R,2^x >0, donc le signe de la dérivée dépend uniquement de 1 +xln 2

six <− 1

ln 2 ,f⁰(x)<0 six >− 1

ln 2 ,f⁰(x)>0

¦ Calcul des limites :

x→+∞lim f(x) = lim

x→+∞x.2^x= lim

x→+∞x.e^{xln 2}= +∞

x→−∞lim f(x) = lim

x→−∞x.2^x= lim

x→−∞x.e^{xln 2}

Quandx→ −∞,e^{xln 2}→0, donc nous avons une forme indétermineé de la forme 0×∞

PosonsX=xln 2alorsx2^x =xe^{xln 2} =xln 2e^{xln 2}

ln 2 = Xe^X Or lim ln 2

X→−∞=−∞, donc lim

X→−∞Xe^X = 0

x→−∞lim f(x) = 0

¦ Tableau de variations def

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¦ Courbe représentative.

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