–2 3x2x –5=lim x

Test : Limites et suites 1ES Calculer les trois limites suivantes :

lim

x–∞

–2x²1

3x²4 ; _x^lim_∞^–₃^{2x2x –5} ; _{x–2x–2}^lim _–3x^{52x –}_–5¹_x2 Donner une interprétation graphique des limites précédentes.

xlim–∞

–2x²1 3x²4 =lim

x–∞

–2x² 3x² =–2

3 donc la fonction h définie par hx=–2x²1 3x²4 admet une asymptote horizontale d'équation y=–2

3 en –∞. lim

x∞

–2

3x²x –5=lim

x∞

– 2

3x²=–∞ car lim_x

∞

x²=∞ et –2

30 . Pas d'asymptote.

Remarque : dans les deux exemples précédents, on utilise les règles des termes de + haut degré ( voir cours : ICI ). La règle n'est plus utilisable dans l'exemple suivant.

lim

x–2x–25x –1=–11 et lim_{x–2x–2}–3x²–5x2=0^ donc par quotient, lim

x–2x–2

5x –1

–3x²–5x2=–∞ . La droite d'équation x=–2 est asymptote verticale à la courbe de h définie par hx= 5x –1

–3x²–5x2 . Remarque : lim

x–2x–2

–3x²–5x2=0^ car –2 est une solution de –3x²–5x2=0 et un tableau de signes de –3x²–5x2 donne le signe lorsque x se rapproche de –2 avec

x–2 .

On considère la fonction g sur [1 ;∞[ par : ^{gx=2x –3 5} x –1

Prouver que la droite d d'équation y=2x –3 est asymptote à la courbe ^Cg en ∞.

Pour x suffisamment grand, on évalue ^{gx– y}_d et on cherche la limite de ^{gx– y}_d en

∞. gx– y_d=2x –3 5

x –1–2x –3= 5

x –1 et lim

x∞

5

x –1= lim

x=∞

5 x=0^

Comme lim_x∞ gx– y_d=0 la droite d'équation y=2x –3 est asymptote oblique à ^Cg en

∞.

Soit u_n la suite définie par u_n=4ⁿ3 et la suite v_n définie par {^{vn1v=0=54vn– 9 .}

Calculer les cinq premiers termes de chaque suite.

n 0 1 2 3 4

u_n 4 7 19 67 259

v_n 5 11 35 131 515

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Test : Limites et suites 1ES

exemple : v₁=v_01=4v₀–9=4×5–9=11 ; etc ...

Donner la relation entre deux termes quelconques u_m et u_p d'une suite arithmétique de raison a. ( m et p étant deux entiers naturels quelconques )

Application : u_n est une suite arithmétique de raison a avec u₃=4 et u₇=–8 . Calculer a. m et p étant deux entiers naturels quelconques, on a : ^um=u_pm – pa

En particulier, u₇=u₃7–3a ⇔ –8=44a ⇔ 4a=–12 ⇔ a=–3

Donner la relation entre deux termes quelconques u_m et u_p d'une suite géométrique de raison b. Application : u_n est une suite géométrique de raison b avec u₂=6 et b=3 . Calculer u₅.

m et p étant deux entiers naturels quelconques, on a : u_m=u_p×b^{m – p} En particulier, ^u₅^=u₂^×b5–2 ⇔ ^u₅^=6×33 ⇔ u₅=162

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