TS 8 Interrogation 3A : Correction 1er octobre 2016 Exercice 1 :
1. D´eterminer les limites en 2 de la fonctionf(x) = x−3
−2x+ 4 : 2. En donner une interpr´etation graphique.
Solution:
1. lim
x→2(x−3) =−1.
lim x→2 x >2
(−2x+ 4) = 0−.
donc par quotient lim x→2
x >2
f(x) = +∞
De mˆeme, lim x→2
x <2
f(x) =−∞
2. On conclut que la droite d’´equationx= 2 est une asymptote verticale `a la courbe repr´esentantf.
Exercice 2 :
D´eterminer la limite en +∞deh(x) =xcosx+x3 x2+ 1 Solution:
Pour tout r´eelx >−1, doncxcos(x)>−1 doncxcosx+x2>−1 +x2, donc xcosx+x2
x3+ 1 >x+x2
x3+ 1 (carx3+ 1>0) Pour toutx >0, x+x3
x2+ 1 = x(x12 + 1)
1 + x12) et par quotient lim
x→+∞
x+x3
x2+ 1 = +∞.
Par le th´eor`eme de comparaison, on en d´eduit que lim
x→+∞h(x) = +∞
Exercice 3 :
D´eterminer la limite en +∞deg(x) =sin
πx+ 1
2x+ 3
Solution: Pourx6= 0, πx+ 1
2x+ 3 =π+x1
2 + 3x, par quotient lim
x→+∞
πx+ 1 2x+ 3 =π2
X→limπ2sin(X) = 1, par composition lim
x→+∞sin
πx+ 1
6x+ 2
Exercice 4 :
Soitf la fonction d´efinie sur [0; +∞[ parf(x) =x3+ 2x−2.
Montrer que l’´equationf(x) = 0 admet une unique solution sur [0; 1]
Solution: f est d´erivable comme fonction polynˆome.f0(x) = 3x2+ 2x.f0(x) = 0 n’admet pas de solution sur [0; 1].
Le coefficient dominant est positif donc f0 est strictement positif sur [0; 1], donc f est strictement croissante sur [0; 1].
f est continue et strictement croissante sur [0; 1],f(0) = −2 et f(1) = 1 donc par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, l’´equationf(x) = 0 admet une unique solution sur [0; 1]
