ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Maison 7 7 janvier 2019
Exercice I.
On considère la fonctionf dénie surR∗+ par f(x) =
−x
ln(x) , si 0< x <1 etx >1 0 , si x= 1
1. Calculer f(e).
2. Justier brièvement la continuité de f sur]0; 1[et sur]1; +∞[. 3. f est-elle continue en1? Justier.
4. a. Calculer lim
x→0x>0
f(x). b. Que peut-on en déduire ? 5. Calculer lim
x→+∞f(x).
6. Calculer f0(x), pour x∈]0; 1[∪]1; +∞[. 7. Etudier les variations de f.
8. Cf admet-elle une asymptote ? Justier.
9. Tracer l'allure de Cf. Exercice II.
On lance plusieurs fois une pièce non équilibrée dont la probabilité d'obtenir Pile estp∈]0; 1[. Le réelp n'est pas donné. Les résultats s'exprimeront donc en fonction dep.
On rappelle que ceci permet principalement de modéliser la répétition d'expériences aléatoires de type Ber- noulli (ie à deux issues possibles), et non que l'on s'amuse à réellement déformer une pièce pour la lancer.
On dénit les évènements :
An={On a obtenu Pile pour la première fois aune lancer}, pour n∈N∗. Pk ={Le ke lancer a donné Pile} et Fk=Pk, pour k∈N∗.
1. a. Donner P(P1) et calculer P(F1). b. Calculer P(A1) et P(A2).
c. Plus généralement, exprimer l'évènementAnen fonction des évènements élémentaires(Pk)1≤k≤n, puis calculerP(An).
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3Piles si on lance 6 fois la pièce.
3. a. Décrire par une phrase simple l'évènement En=
n
\
k=1
Pk. b. Calculer P(En).
c. Calculer lim
n→+∞P(En). Interpréter le résultat.
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