x 2 = +∞et lim X

TS 8 DS 4 : Probabilit´es et fonction exponentielle 9 d´ecembre 2015 Exercice 1 : Restitution organis´ee des connaissances

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Exercice 2 : Exercices classiques

1. e^3x+5>1⇔3x+ 5>0(car exp est strictement croissante surR).S=]−⁵₃; +∞[.

2. e^x+ 1

e^x+x = 1 + e^−x 1 +xe^−x. lim

x→+∞1 + e^−x = 1 et lim

x→+∞xe^−x = 0 donc lim

x→+∞(1 +xe^−x) = 1. Par quotient, on a :

x→+∞lim e^x+ 1 e^x+x= 1 3. e^x

x² = e^x2

x ²

. On poseX = ^x₂, on a alors e^x x² =

e^X X

²

×¹₄. lim

x→+∞

x

2 = +∞et lim

X→+∞

e^X

X = +∞, par un th´eor`eme de comparaison, on a lim

x→+∞

e^x x² = +∞

4. f⁰(x) = 2xe^x2

5. g est d´erivable comme produit de fonctions d´erivables sur [0; 5]. On a g⁰(x) = e^x−xe^x= (1−x)e^x. e^x>0 pour x∈[0; 5], doncg⁰ est du signe de 1−xqui est positif sur [0; 1] et n´egatif sur [1; +∞[.

x g⁰

g

0 1 5

+ −

0 0

e¹ e¹

5e⁵ 5e⁵

Exercice 3 : Probl`eme 1 : Probabilit´e 1. (a)

Par lecture de l’´enonc´ep(T1) = 0.5,p(P1) = 0.5,pT₁(T2) = 0,3 etpP₁(T2) = 1−pP₁(P2) = 1−0,8 = 0,2, on a donc

P₁

P₂ 0,8

T2

0,2 0,5

T₁

P2

0,7

T₂ 0,3

0,5

(b) T1 etP1 forment un syst`eme complet d’´ev´enements.

Par la formule des probabilit´es totales :p(T2) =p(T1)×pT₁(T2) +p(P1)×pP₁(T2) =1 4. (c) p(T2)×p(T1) = ¹₄×¹₂= ¹₈.

p(T2∩T1) = 0,2×0,5 = ₁₀¹. Les ´ev´enements ne sont donc pas ind´ependants.

(d) pT₂(T1) = p(T1∩T2)

p(T2) = 0,3×0,5

1 4

= ³₅

La probabilit´e qu’il ait utilis´e le tobogan lors du 1er passage sachant qu’il est utilis´e le tobogan lors du 2`eme passage est ³₅.

2. Tn et Pn forment un syst`eme complet d’´ev´enements.

Par la formule des probabilit´es totales,un+1=p(Tn+1) =p(Tn)×pT_n(Tn+1) +p(Pn)×pP_nTn+1=un×0,3 + (1− un)×0,2 = 0,1un+ 0,2

3. (a) v_n+1=u_n+1−²₉ = 0,1u_n+ 0,2−²₉ = 0,1(v_n+²₉) + 0,2−²₉ = 0,1v_n+₉₀² +¹⁸₂₀−²⁰₉₀=v_n. (v_n) est donc une suite g´eom´etrique de premier termeu₀−²₉ = ¹₂−²₉ =₁₈⁵ et de raison 0,1.

(b) On a donc v_n= ₁₈⁵ ×(0,1)ⁿ⁻¹ etu_n= ₁₈⁵ ×(0,1)ⁿ⁻¹+²₉. (c) 0<0,1<1 donc lim

n→+∞0,1ⁿ⁻¹= 0 donc lim

n→+∞un= ²₉

4. (a)

Variables : nest un entier naturel aest un r´eel

Initialisation : Affecter `a nla valeur 0 Affecter `a ula valeur 800 Traitement : Tant que 2/9−u <0,001, faire :

Affecter `a ula valeur 0,1u+0,2 Affecter `a nla valeur n+1 Fin Tant que

Sortie : Afficher n (b) lim

n→+∞un= ²₉, il existera donc un r´eelN tel que pour tout entiern>N, ²₉−un>0,001.

5. (a) Choisir un manchot est une ´epreuve de Bernoulli de succ´esLe manchot fera du tobogan lors de son deuxi`eme plongeonde param`etre ¹₄.

TS 8 DS 4 Correction : Probabilit´es et fonction exponentielle, Page 2 sur?? 2015-2016 On observe la r´ep´etition de 36 ´epreuves de Bernoulli identiques et ind´ependantes.

X est la variable al´eatoire qui compte le nombre de succ`es apr`es ces 36 ´epreuves.X suit donc la loi binomiale de param`etres 36 et ¹₄

(b) E(X) =¹₄×36 = 9 etσ(X) =q

36×¹₄׳₄ =q

27 4 =

√ 27 2

Exercice 4 : Probl`eme 2 : Fonction exponentielle Partie 1

1. g(x) = e^x(1−x) + 1 donc lim

x→+∞(1−x) =−∞, par produit lim

x→+∞e^x(1−x) =−∞et lim

x→+∞g(x) =−∞.

2. g⁰(x) = e^x−e^x−xe^x=−xe^x.xet e^x sont positifs sur [0; +∞].

x g⁰

g

0 +∞

− 2

2

−∞

−∞

3. (a) On siat que :

— g est continue sur [0; +∞[ ;

— g est strictement d´ecroissante sur [0; +∞[ ;

— g(0) = 2 et lim

x→+∞g(x) =−∞et 0∈]− ∞; 2].

Par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, l’´equation g(x) = 0 admet une unique solution sur [0; +∞[

(b) `A la calculatrice, on a 1,27< α <1,28.

(c) e^α−αe^α+ 1 = 0 c’est-`a-dire e<sup>α</sup>(1−α) + 1 = 0, c’est-`a-dire e^α=− 1 1−α. 4. gstrictement d´ecroissante doncg est positive six < αet sinon elle est n´egative.

Partie 2

1. Soientuet v d´efinies paru(x) = 4xet v(x) = e^x+ 1, on a doncu⁰(x) = 4 etv⁰(x) = e^x, donc : A⁰(x) =4(e^x+ 1)−4xe^x

(e^x+ 1)² = 4g(x) (e^x+ 1)². Pour tout r´eel x, (e^x+ 1)²>0 car e^x>0.

2. On en d´eduit queAest strictement croissante sur [0;α] et strictement d´ecroissante sur [α; +∞[

Partie 3

1. L’aire du rectangle estxf(x) = A(x). Selon le 2) de la partie 2, le maximum de A est atteint en α. Donc l’aire atteint son maximum enα.

2. Le coefficient directeur de la droite (P Q) est ´egal `a −f(α) α =−

4 e^α+1

α =− 4

α(e^α+ 1). Or on a vu que e^α= 1

α−1, donc le coefficient directeur est ´egal `a :

− 4

α(e^α+ 1) =− 4 α

1

α−1+ 1 =− 4(α−1)

α(1 +α−1) =−4(α−1) α² . La tangente enM(α; f(α)) a pour coefficient directeurf⁰(α).

Orf⁰(x) =− 4e^x

(e^x+ 1)², donc f⁰(α) =− 4e^α

(e^α+ 1)² =−

4 α−1

1

α−1+ 12 =− 4(α−1)

(1 +α−1)² =−4(α−1) α² .

Les coefficients directeurs sont ´egaux : les droites sont parall`eles.