x→0lim sin(x) x , lim x→0 sin(x2) x , lim x→0 √x+ 1−1 x , lim x→1 sin(πx) x−1 , Exercice 4 D´eterminer la limite lim n→∞(1 + 1 n)n

MOSE 1003 2011/2012 feuille 1 : D´erivation, Int´egration

Exercice 1 Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes.

x7→(3x²+ 7) lnx, x7→ e^x

x²+ 1, x7→p x⁴+ 8 x7→cos(2−x), x7→ln (7−x²), x7→(sinx+ 3)⁴.

Exercice 2 A l’aide de la formule arccos(cos(x)) =xpour tout x∈[0, π]. Montrer que pour tout y∈]−1,1[,

arccos⁰(y) = −1 p1−y².

Exercice 3 Calucler les limites suivantes, en utilisant la d´efinition de la d´eriv´ee.

x→0lim sin(x)

x , lim

x→0

sin(x²) x , lim

x→0

√x+ 1−1

x , lim

x→1

sin(πx) x−1 ,

Exercice 4 D´eterminer la limite lim

n→∞(1 + 1 n)ⁿ.

Exercice 5 Calculer Z 1

0

x³dx,

Z 4

1

1 x²dx,

Z 1

0

√1 xdx,

Z 4

1

1 x√

xdx.

Exercice 6 D´eterminer les primitives des fonctions suivantes en pr´ecisant l’intervalle maximal de d´efinition :

x7→cos(3x−5) x7→ x²−3x+ 4

x x7→ 1

x−2

Exercice 7 Supposons que Z 3

0

p9−x²= ^9π₄ est connue.

Soient A= Z 3

0

(p

9−x²−3)dxetB = Z 3

0 x²

√9−x²+3dx. CalculerA,A+B puisB

Exercice 8 Calculer Z 1

0

e^−xdx, Z 1

0

xe^2xdx, Z 1

0

2x e^x2dx, Z 1

0

e^x√

e^x+ 3dx.

Exercice 9 Calculer l’int´egrale suivante (essayez de trouvez une solution par int´egration par partiesetune solution par changement de variables) :

Z log(x) x dx

Exercice 10 D´eterminer deux r´eelsaet btels que l’on ait pour tout r´eelxdiff´erent de−1 et

5 : 1

x²−4x−5 = a

x+ 1 + b

x−5. Calculer ensuite Z 2

0

1

x²−4x−5dx.

Exercice 11 Calculer Z 3

2

x x²−3dx,

Z 2

1

√ x

5−x²dx

Z 1

0

cos(x) 1−sin(x)²dx Exercice 12 Trouver les primitives suivantes

1

Z x²p

x³+ 1dx,

Z x+ 1 x²+ 2x+ 2dx,

Z

sin(x) cos(x)dx Le dernier probl`eme admet deux raisonnements diff´erents. Les voyez-vous ?

Exercice 13 Soient λ, T > 0. Calculer I(T) = Z T

0

λe^−λtdt et E(T) = Z T

0

tλe^−λtdt.

Discuter les limites deI(T) etE(T) quandT tend vers infini.

Exercice 14^∗ Calculer Z 1

sin(x)dx,

Z 1

xln(x) ln(ln(x))dx,

2