ln(1+xα) lnx (c) Calculer x→+∞lim 1 2ln(1+x2)−ln(x), lim x→+∞x¡ ln(1+x)−ln(x

Université de Rouen L2 SPS

Année 2015-2016

Mathématiques. Fiche n^◦2 Fonctions réelles

Exercice 1. Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes ?

(a^b)^c=a^bc, a^ba^c=a^bc, a^2b=(a^b)², (ab)^c=a^c/2b^c/2, (a^b)^c=a^(bc), (a^b)^c=(a^c)^b Exercice 2. [limites]

(a) Comparer lim_x→0x^(xx)et lim_x→0(x^x)^x. (b) pourα>0 calculer

x→+∞lim x^αexp(−p

x), lim

x→+∞

ln(1+x^α) lnx (c) Calculer

x→+∞lim 1

2ln(1+x²)−ln(x), lim

x→+∞x¡

ln(1+x)−ln(x)¢

, lim

x→0,x>0

¡ln(sin(x))−ln(x)¢ , lim

x→+∞

ln(2x²+x+1) ln(2x+3) (d) Pourx∈Rfixé, calculer

n→+∞lim nln¡ 1+1

n

¢ et lim

n→+∞

¡1+x n

¢n

[utilisera^b=exp(blna)]

On rappelle les limites usuelles limx→0

sinx

x =1, lim

x→0

ln(1+x)

x =1, lim

x→0

exp(x)−1 x =1.

Exercice 3. Étudier et calculer si elles existent les limites suivantes

x→+∞lim exp(sinx)−ln(x), lim

x→+∞x¡

ln(x+2)−ln(x)¢ , lim

x→+∞

px²+x+1−x, lim

x→0

3^x−2^x x . Exercice 4. [F.I.0/0]Déterminer les limites suivantes

(a) lim

x→−1

x²+6x+5

x³+1 , (b) lim

x→1

px²+6x+2−3

x³−1 , (c) lim

x→π

sin(2x) x−π .

Pour(a) : on peut factoriser par (x+1) ou poserh=x+1 et se ramener à une limite quandhtend vers 0. Pour(b) : quantité conjuguée et factoriser parx−1 ou poserh=x−1. Pour(c) : poserh=x−π et se ramener à une limite (classique) en 0.

Exercice 5. [F.I.+∞ − ∞]Déterminer les limites suivantes (a) lim

x→+∞(exp(2x)−3xexp(x)−x), (b) lim

x→+∞(ln(1+exp(x))−x+1).

(a) : factoriser par le terme qui croit le plus vite vers l’infini. (b) : factoriser l’intérieur du ln par exp(x) et utiliser les propriétés du logarithme.

Exercice 6. [F.I.+∞/∞]Déterminer les limites suivantes (a) lim

x→+∞

x²+6x+5

x³+1 , (b) lim

x→+∞

px²+1−3x x−1 , (c) lim

x→+∞

px²+2x+3−x

x . (d) lim

x→+∞

exp(4x)−exp(x)+cos(x) x⁴+2x+sin(x)

(a) : factoriser le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.(b) : quantité conjuguée ou plus simple factoriser le numérateur et le dénominateur par une puissance dex bien choisie.(c) : quantité conjuguée.(d) : facile

Exercice 7. [F.I.0× ∞]Déterminer les limites suivantes (a) lim

x→0,x>0(exp(x)−1) ln(x), (b) lim

x→+∞exp(x) ln(exp(−x)+1), (c) lim

x→+∞x(p

1+exp(−x)−1), (d) lim

x→−∞xln³ 1+1

x

´ .

1

2

(a) : écrire ^exp(x)−1_x xln(x), utiliser une limite classique et les croissances comparées des fonctions usuelles.(b) : poserh=exp(−x) et constater que c’est juste une limite classique.(c) : quantité conju- guée.(d) : poserh=¹_x.

Exercice 8. Soit f définie par

f(x)= q

x+2p x−1+

q x−2p

x−1 Donner l’ensemble de définition de f et simplifier f(x).

Exercice 9. Les fonctions suivantes admettent-elles une limite finie quandxtend vers 0 ? (a) f(x)=

px²+1−1

x .

(b) f(x)= x 2x+ |x|. (c) f(x)=x^x.

Exercice 10. Montrer que

(a) exp(2x)+x⁵exp(x)+x⁷ ∼

+∞exp(2x) (b) 3x³+x(ln(x))⁵ ∼

+∞3x³ (c) 3x³(ln(x))⁵+x∼

0 x Exercice 11. Montrer que

(a) x²ln(x)=

0o(x) (b) x¹⁰exp(x/2) =

+∞o(exp(x)) (c) x¡

3 exp(x)−2p 1+x¢

+2 cos(x)=

0 2+x+x²+o(x²)

Exercice 12. [Des dérivées !]Pour chacune des fonctions réelles de la variable réelle suivantes déter- miner son ensemble de définition, l’ensemble sur lequel elle est dérivable, puis calculer sa dérivée

a(x)=exp(x) ln(sin(x)), b(x)=ln³x^x−1 x^x+1

´

, c(x)=cos(p

1+x²), d(x)=tan³ 2x 1+x²

´ , f(x)= 1

p2+x, g(x)=p

|1−x²|, h(x)=ln¡

|x²−3x+2|¢