ln x = + lim

www.mathsenligne.com L OGARITHME N EPERIEN E XERCICES 3A

R APPEL :

x  0+

lim ln x = - lim

x  +

ln x = + lim

x  0+

x

ⁿ

ln x = 0 lim

x ^ +

ln x

x

ⁿ

= 0 lim

x ^ 0+

ln (1 + x) x = 1 E XERCICE 3A.1 Déterminer les limites suivantes :

a. lim 0 5ln

x _ x

   b. lim 5ln

x _  x  c. lim 5 ln 0

x _ x

   d. lim 3 ln

x _  x  e. lim 2 ln 0

x _ x

   _{f. lim} ¹

x ^ ln x  g. 0

lim 3 ln x ^{ } x

  h. ln

lim 7 x

x

  i. 0

lim 2 ln

x _ 3 x

   j. 2

lim ln x ^ x

 

E XERCICE 3A.2 Déterminer les limites suivantes, en écrivant chaque fonction f sous la forme v o u :

a.  

lim ln 1 1

x _ x

  ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ^{ v x}   ^

1  

x lim _ u x

 

donc   _{ }

lim ln 1 1 lim

x _ x u x

   

b. _{x } ^{lim ln}  ^{  2 x 1}  ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ^{ v x}   

 

x _ lim u x 

donc _x ^{lim ln 1}   _{ } ^lim

x u x

    c. 0

lim ln 1

x  ^ x ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ^{ v x}   ^

0  

x lim _ u x

 

donc   _{ }

lim ln 1 0 lim

x _ x u x

   

d. 1

lim ln x

x

 x

 ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ^{ v x}   

 

x _ lim u x 

donc _x ^{lim ln 1}   _{ } ^lim

x u x

    E XERCICE 3A.3

1. Déterminer les limites des fonctions suivantes en + : a. ^{f x}   ^{ln x 1}

x x

  b. ^{f x}   ^{2 ln x}

x

  c. ^{f x}   ^{  x ln x}

d. ^{f x}   ^{ x 2  x ln x e. f x}   ^{ x 2  2 x   3 4 ln x f. f x}   ^{ 3ln x   x 3}

2. Déterminer les limites des fonctions suivantes en 0 :

a. ^{f x}   ^{ x 2  x ln x b. f x}   ^{  2 x 3 ln x c. f x}    ^{ x ln x  3} 

3. Déterminer les limites des fonctions suivantes en 0 :

a.   ^ln  ¹ 

1 x

f x x

x

    b.   ^ln  ^{x 1}  ^x

f x x

   _c.   ^{x 2 2 ln}  ^{x 1} 

f x x

 



www.mathsenligne.com L OGARITHME N EPERIEN E XERCICES 3A CORRIGE – N OTRE D AME DE L A M ERCI – M ONTPELLIER

E XERCICE 3A.1 Déterminer les limites suivantes, sachant que

lim ln 0

x _ x

   et lim ln

x _ x   : a. lim 0 5ln

x _ x

    b. lim 5ln

x _  x  

c. lim 5 ln 0

x _ x

    d. lim 3 ln

x x

   

e. lim 2 ln 0

x _ x

    _{f. lim} ¹ ₀

x ln x

   g. 0

lim 3 0

ln

x ^ x





  h. ln

lim 7 x

x

  

i. 0 lim 2 ln

x _ 3 x

    j. 2

lim 0

x ln x

 

 

E XERCICE 3A.2 Déterminer les limites suivantes, en écrivant chaque fonction f sous la forme v o u :

a.  

lim ln 1 1

x _ x

  ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ^{  1 x v x}   ^{ ln x}

1   1

lim lim 1 0

x _ u x x _ x ^

     ce qui revient à dire : on pose ^{u x}   ^{  1 x}

donc   _{ }    

1 0

lim ln 1 lim ln

x _ x u x _ u x

     

b. _{x } ^{lim ln}  ^{  2 x 1}  ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ^{   2 x 1 v x}   ^{ ln x}

 

lim lim 2 1

x u x x x

       ce qui revient à dire : on pose ^{u x}   ^{   2 x 1}

donc _x ^{lim ln}  ^{2 1}  _{ } ^{lim ln}    

x u x u x

      

c. 0 lim ln 1

x  ^ x ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ¹

 x ^{v x}   ^{ ln x}

0   0

lim lim 1

x u x x

  x

     ce qui revient à dire : on pose ^{u x}   ¹

 x donc

     

0

lim ln 1 lim ln

x u x u x

 x

    

d. 1

lim ln x

x

 x

 ^{f x}   ^{ v u x}   ^{u x}   ^{1 x}

x

  ^{v x}   ^{ ln x}

 

1 1

1 1

lim lim lim lim 1 1

x x x x

x x x

u x x x x

   

  

 

  

     ce qui revient à dire : on pose ^{u x}   ^{1 x}

x

  donc

     

1

lim ln 1 lim ln 0

x u x

x u x

 x 

  

E XERCICE 3A.3

1. Déterminer les limites des fonctions suivantes en + , sachant que sachant que ln

lim 0

x

x

 x  : ln 1

lim 0

x

x

x x

   2 ln 2 ln

lim lim 0

x x

x x

x x x

 

    ln

lim ln lim 1

x x

x x x x

        x     

2 2 ln

lim ln lim 1

x x

x x x x x

        x     

2 2

2 2

2 3 ln

lim 2 3 4 ln lim 1 4

x x

x x x x x

x x x

 

 

          

 

ln 3

lim 3ln 3 lim 3 1

x x

x x x x

x x

              

www.mathsenligne.com L OGARITHME N EPERIEN E XERCICES 3A 2. Déterminer les limites des fonctions suivantes en 0 , sachant que

lim 0 ln 0

x _ x x

  : 2

lim 0 ln 0

x _ x x x

   ³

lim 2 0 ln 2

x _ x x

      

0 0

lim ln 3 lim ln 3 0

x _ x x x _ x x x

     

3. Déterminer les limites des fonctions suivantes en 0 , sachant que  

0

lim ln 1 1 x

x

 x



  :

 

0

ln 1

lim 1 2

x x x

 x



       

0 0

ln 1 ln 1

lim lim 1 2

x x

x x x

x x

 

 

  

  

   

2

0 0

2 ln 1 ln 1

lim lim 2 2

x x

x x x

x x x

 

 

  

   