PanaMaths Décembre 2001
Déterminer :
( ) ( )
lim ln 1 ln
x→+∞⎛⎜
x
⎛⎜x x
⎞⎟⎞⎟⎝ ⎠
⎝
+ −
⎠Analyse
Comme nous avons : lim ln
(
1)
lim ln( )
x x x x
→+∞ + = →+∞ = +∞, nous avons une indétermination au niveau de la différence ln
(
x+ −1)
ln( )
x . On la lève facilement en considérant le logarithme du rapport en lieu et place de la différence des logarithmes …Résolution
Considérons donc la fonction f définie par : f x( )=x
(
ln(
x+ −1)
ln( )
x)
.On a :
( ) ( )
( )
ln 1 1
1 1
( ) ln 1 ln ln ln 1
1
x x
f x x x x x x
x x
x
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎛ + ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠
= + − = ⎜⎝ ⎟⎠= ⎜⎝ + ⎟⎠=
Lorsque x tend vers +∞, 1
x tend vers 0 et on peut donc écrire, en posant 1 h= x :
( )
0
lim ( ) lim ln 1 1
x h
f x h
→+∞ → h
⎛ + ⎞
= ⎜ ⎟=
⎝ ⎠
Résultat final
( ) ( )
( )
( )
lim ln 1 ln 1
x x x x
→+∞ + − =
