PanaMaths Janvier 2002
Déterminer :
( ) ( )
( )
lim ln 2 1 ln 2
x→+∞
x + − x +
Analyse
Comme on a xlim ln 2→+∞
( (
x+1) )
= +∞ et xlim ln→+∞( (
x+2) )
= +∞, nous sommes confrontés à une forme indéterminées de type « ∞ − ∞ ». Pour autant, récrire la fonction en tenant compte de la propriété élémentaire du logarithme népérien permet de la lever rapidement ...Résolution
On a : ln 2
(
1)
ln(
2)
ln 2 12
x x x
x
⎛ + ⎞ + − + = ⎜⎝ + ⎟⎠.
Or,
2 1
2 1 2
lim lim 2
2 1 2 1
x x
x x
x
x
→+∞ →+∞
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎛ + ⎞ = ⎜ ⎟= =
⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠
.
Donc : lim ln 2 1 ln 2
( )
2
x
x
→+∞ x
⎛ ⎛⎜ + ⎞ =⎟⎞
⎜ ⎝ + ⎠⎟
⎝ ⎠ .
Résultat final
( ) ( )
( ) ( )
lim ln 2 1 ln 2 ln 2
x x x
→+∞ + − + =
