´Ecrire sous la forme ln(k) le nombre 1 + 2 ln 6−ln 2

Exercice 1 : Exercices classiques (30 minutes) (6 points) 1. D´eterminer le plus petit entiern tel que 0,7ⁿ<0,001 ;

2. ´Ecrire sous la forme ln(k) le nombre 1 + 2 ln 6−ln 2 ; 3. Soitf d´efinie surRparf(x) = ln(e^x+ 1). D´eriver f; 4. R´esoudre 2e^x−3>9 ;

5. Dans un rep`ere orthonorm´e (O;~i;~j;~k), on consid`ere ~u(−2; 3; 1) et ~v(3; 0; 3). D´eterminer un vecteur normal `a ~u et~v.

6. SoientP1 etP2 les plans d’´equationsx+y+z= 0 etx+ 4y+ 2 = 0.

(a) D´emontrer que les plansP1 etP2 sont s´ecants ;

(b) V´erifier que la droite d, intersection des plans P1 et P2, a pour repr´esentation param´etrique







x=−4t−2 y=t z= 3t+ 2

, t∈R.

Solution:

1. Pour tout entiern, 0,7ⁿ<0,001⇔ln(0,7)n <ln(0,001)⇔n > ln(0,001) ln(0,7) . Or ln(0,001)

ln(0,7) ≈19,37. Le plus petit entier est 20.

2. 1 + 2 ln 6−ln 2 = ln(18e).

3. f⁰(x) = e^x e^x+ 1.

4. 2e^x−3>9⇔e^x>3⇔x >ln 3. S =] ln 3; +∞[.

5. Soit~n(a;b;c) un vecteur de l’espace.

(~n·~u= 0

~n·~v= 0 ⇔

(−2a+ 3b+c= 0

3a+ 3c= 0 ⇔

(b=−c a=−c . Un vecteur normal est~n(−1;−1; 1).

6. ~n₁(1; 1; 1) vecteur normal `a P1 et ~n<sub>2</sub>(1; 4; 0) vecteur normal `a P2 ne sont pas colin´eaires. Les plans sont donc s´ecants.

(−4t−2) +t+ (3t+ 2) = 0 donc Mt(−4t−2;t; 3t+ 2)∈P1; de mˆeme Mt∈P2.

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Exercice 2 : Espace (40 minutes) (7 points)

L’espace est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e O ; −→

ı , −→

 , −→ k

. On consid`ere les points A(10 ; 0 ; 1), B(1 ; 7 ; 1) et C(0 ; 0 ; 5).

1.La masse, en gramme, d’un panier de grande taille peut être modélisée par une variable aléa- toire, notéeX, suivant une loi normale d’espérance 5 000 et d’écart- type 420. Un panier de grande taille est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à 4,5 kg.

On choisit au hasard un panier de grande taille.

Quelle est la probabilité, arrondie au centième, qu’il soit non conforme ?

2.Les responsables de l’association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette nouvelle méthode, la masse, en gramme, d’un panier de grande taille est désormais modélisée par une variable aléatoire, notéeY, suivant une loi normale d’espérance 5 000 et d’écart-type σ. La probabilité qu’un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de 0,04.

Déterminer la valeur deσarrondie à l’unité.

Partie C

Depuis plusieurs années, les associations distribuant des produits frais à leurs adhérents se déve- loppent dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.

Lors d’une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que 88 % des adhérents de ces associations sont satisfaits.

Un auditeur intervient dans l’émission pour contester le pourcentage avancé par le journaliste. à l’appui de son propos, l’auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de 120 adhérents de ces associations et avoir constaté que, parmi eux, seuls 100 ont indiqué être satisfaits.

La contestation de l’auditeur est-elle fondée ?

EXERCICE2 5 points

Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère orthonormé!

O ;→−ı,−→ȷ,−→k"

. On considère les points A(10; 0; 1), B(1; 7; 1) et C(0; 0; 5).

z

y

x O

C

D

A F B

E

1. a.Démontrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.

b.Déterminer la mesure, en degré, de l’angle#AOB, arrondie au dixième.

2.Vérifier que 7x+9y−70z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).

Antilles–Guyane 2 9 septembre 2019

1. a. D´emontrer que les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.

b. D´eterminer la mesure, en degr´e, de l’angle AOB, arrondie au dixi`[ eme.

2. V´erifier que 7x+ 9y−70z= 0 est une ´equation cart´esienne du plan (OAB).

3. D´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droite (CA).

4. Soit D le milieu du segment [OC]. D´eterminer une ´equation du plan P parall`ele au plan (OAB) passant par D.

5. Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F.

D´eterminer les coordonn´ees du point F. On admet que le point E a pour coordonn´ees ¹₂ ; ⁷₂ ; 3 . 6. D´emontrer que la droite (EF) est parall`ele `a la droite (AB).

Solution:

1. a. −−→

OA (10 ; 0 ; 1) et−−→

OB (1 ; 7 ; 1) donc−−→

OA.−−→

OB = 10×1 + 0×7 + 1×1 = 116= 0 donc les vecteurs −−→

OA et −−→

OB ne sont pas orthogonaux, donc les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires.

b. −−→

OA.−−→

OB = OA×OB×cosAOB donc cos[ AOB =[

−−→OA.−−→

OB OA×OB Or OA =p

10²+ 0²+ 1² =

√

101 et OB =p

1²+ 7²+ 1² =

√ 51.

Donc cosAOB =[ 11

√

101×√

51; on en d´eduit que la mesure en degr´es, arrondie au dixi`eme de AOB est 81.[

2. Soit Q le plan d’´equation 7x+ 9y−70z= 0.

• 7xO+ 9yO−70zO= 7×0 + 9×0−70×0 = 0 donc O∈ Q.

• 7xA+ 9yA−70zA= 7×10 + 9×0−70×1 = 0 donc A∈ Q.

• 7x_B+ 9y_B−70z_B = 7×1 + 9×7−70×1 = 0 donc B∈ Q.

Le plan (OAB) a donc pour ´equation cart´esienne 7x+ 9y−70z= 0.

3. Pour d´eterminer une repr´esentation param´etrique de la droite (CA), on cherche les coordonn´ees du vecteur −−→

OA : ce vecteur a pour coordonn´ees (10−0 ; 0−0 ; 1−5) = (10 ; 0 ;−4).

La droite (CA) a donc pour repr´esentation param´etrique :







x = 0 + 10k y = 0 + 0k z = 5−4k

soit







x = 10k

y = 0 z = 5−4k

o`uk∈R.

4. Soit D le milieu du segment [OC]. Les coordonn´ees de D sont donc (0 ; 0 ; 2,5).

Tout plan parall`ele au plan (OAC) d’´equation 7x+ 9y−70z= 0 a une ´equation de la forme 7x+ 9y−70z+d= 0.

Le planP est parall`ele au plan (OAB) passe par D donc le r´eeldv´erifie 7x_D+ 9y_D−70z_D+d= 0 soit 7×0 + 9×0−70×2,5 +d= 0, ce qui donned= 175.

Le planP a donc pour ´equation 7x+ 9y−70z+ 175 = 0.

5. Le planP coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F

Les coordonn´ees de F v´erifient `a la fois l’´equation de la droite (CA) et l’´equation du planP, donc v´erifient le syst`eme :











x = 10k

y = 0 z = 5−4k 7x+ 9y−70z+ 175 = 0

Il s’agit donc de chercher le r´eel ktel que 7 (10k) + 9 (0)−70 (5−4k) + 175 = 0, autrement dit k= 1

2.

Cela donne x_F= 10×1

2 = 5, y_F= 0 etz_F = 5−4×1 2 = 3.

Le point F a pour coordonn´ees (5 ; 0 ; 3).

On admet que le point E a pour coordonn´ees ¹₂ ; ⁷₂ ; 3 .

6. On va d´emontrer que la droite (EF) est parall`ele `a la droite (AB).

−−→EF a pour coordonn´ees 5−¹₂ ; 0−⁷₂ ; 3−3

= ⁹₂ ; −⁷₂ ; 0 .

−−→AB a pour coordonn´ees (1−10 ; 7−0 ; 1−1) = (−9 ; 7 ; 0).

−−→AB =−2−−→

EF donc les vecteurs−−→

EF et −−→

AB sont colin´eaires, donc les droites (EF) et (AB) sont parall`eles.

TS7 DS 7 Page 4 sur 5

Exercice 3 : Fonction ln (40 minutes) (7 points)

Soit g la fonction d´efinie sur ]0 ; +∞[ par

g(x) = 4x−xlnx.

On admet que la fonctiong est d´erivable sur ]0 ; +∞[ et on noteg⁰ sa d´eriv´ee.

Partie A

Le graphique ci-contre repr´esente une partie de la courbe repr´esentative de la fonctiong obtenue par un ´el`eve sur sa calculatrice. Cet ´el`eve ´emet les deux conjectures suivantes :

• il semble que la fonction gsoit positive ;

• il semble que la fonction g soit strictement croissante.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CA).

4. Soit D le milieu du segment [OC]. Déterminer une équation du plan P parallèle au plan (OAB) passant par D.

5. Le plan P coupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F.

Déterminer les coordonnées du point F. On admet que le point E a pour coordonnées!₁

2; ⁷₂; 3"

. 6. Démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).

EXERCICE3 5 points

Commun à tous les candidats

Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

g(x)=4x−xlnx.

On admet que la fonctiongest dérivable sur ]0 ;+∞[ et on noteg^′sa dérivée.

Partie A

Le graphique ci-contre représente une partie de la courbe représentative de la fonctiong obte- nue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes :

• il semble que la fonctiongsoit positive ;

• il semble que la fonction g soit stricte- ment croissante.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

1. Résoudre l’équationg(x)=0 sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

2. Déterminer le signe deg(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

3. Les conjectures de l’élève sont-elles vérifiées?

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’étude de la fonctiong. 1. a. On rappelle que

t→+∞lim lnt

t =0.

En déduire que

xlim→0xlnx=0.

b. Calculer la limite deg(x) lorsquextend vers 0.

2. a. Démontrer que, pour tout réelxstrictement positif,g^′(x)=3−lnx.

b. Dresser le tableau de variations de la fonctiong. 3. On désigne parGla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

G(x)=1

4x²(9−2lnx).

On admet que la fonctionGest dérivable sur ]0 ;+∞[.

Antilles–Guyane 3 9 septembre 2019

L’objectif de cette partie est de valider ou d’invalider chacune de ces conjectures.

1. R´esoudre l’´equation g(x) = 0 sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

2. D´eterminer le signe deg(x) sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

3. Les conjectures de l’´el`eve sont-elles v´erifi´ees ? Solution:

1. Sur l’intervalle ]0 ; +∞[,

g(x) = 0 ⇐⇒ 4x−xlnx= 0 ⇐⇒ x(4−lnx) = 0 ⇐⇒ 4−lnx= 0 ⇐⇒ 4 = lnx ⇐⇒ x= e⁴.

2. Sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

g(x)>0 ⇐⇒ 4x−xlnx >0 ⇐⇒ x(4−lnx)>0 ⇐⇒ 4−lnx >0 ⇐⇒ 4>lnx ⇐⇒ x <

e⁴.

Donc g(x)>0 sur ]0 ; e⁴[ etg(x)<0 sur ] e⁴ ; +∞[.

3. • g(x)<0 sur ] e⁴ ; +∞[ donc la premi`ere conjecture est fausse.

• g(1) = 4>0 etg( e⁴) = 0, doncg(1)> g( e⁴) alors que 1< e⁴; donc la deuxi`eme conjecture est fausse.

Partie B

Dans cette partie, on poursuit l’´etude de la fonctiong.

1. a. On rappelle que

t→+∞lim lnt

t = 0.

En d´eduire que

x→0limxlnx= 0.

b. Calculer la limite deg(x) lorsque xtend vers 0.

2. a. D´emontrer que, pour tout r´eel x strictement positif,g⁰(x) = 3−lnx.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction g.

3. On d´esigne par Gla fonction d´efinie sur ]0 ; +∞[ par G(x) = 1

4x²(9−2 lnx).

On admet que la fonctionGest d´erivable sur ]0 ; +∞[. D´emontrer que la fonctionGest une primitive de la fonctiong sur ]0 ; +∞[.

Solution:

1. a. On rappelle que lim

t→+∞

lnt t = 0.

Pour calculer lim

x→0xlnx, on poset= 1

x; doncxlnx= 1 t ln

1 t

=−ln(t) t .

x→0lim

x>0

t= +∞; or lim

t→+∞−lnt

t = 0 donc lim

x→0xlnx= 0.

b. lim

x→04x= 0 et lim

x→0xlnx= 0 donc lim

x→0g(x) = 0

2. a. Pour tout r´eelx strictement positif,g⁰(x) = 4×1 + 1×lnx−x×1

x = 4 + lnx−1 = 3−lnx.

b. Pour tout r´eelx >0, g⁰(x)>0 ⇐⇒ 3−lnx >0 ⇐⇒ 3>lnx ⇐⇒ x < e³.

• On a vu que lim

x→0g(x) = 0.

• g( e³) = 4 e³− e³ln e³

= 4 e³− e³×3 = e³

• lim

x→+∞lnx = +∞ =⇒ lim

x→+∞4−lnx = −∞ =⇒ lim

x→+∞x(4−lnx) = −∞ =⇒

x→+∞lim g(x) =−∞

On dresse le tableau de variations de la fonctiong sur ]0 ; +∞[ :

Corrigé du baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. lim

x→04x=0 et lim

x→0xlnx=0 donc lim

x→0g(x)=0

2. a. Pour tout réelxstrictement positif,g^′(x)=4×1+1×lnx−x×1

x=4+lnx−1=3−lnx.

b. Pour tout réelx>0,g^′(x)>0⇐⇒3−lnx>0 ⇐⇒3>lnx ⇐⇒ x<e³.

• On a vu que lim

x→0g(x)=0.

• g(e³)=4e³−e³ln! e³"

=4e³−e³×3=e³

• lim

x→+∞lnx= +∞ =⇒ lim

x→+∞4−lnx= −∞ =⇒ lim

x→+∞x(4−lnx)= −∞ =⇒ lim

x→+∞g(x)= −∞

On dresse le tableau de variations de la fonctiongsur ]0 ;+∞[ :

x 0 e³ +∞

g^′(x) +++ 0 −−−

e³ g(x)

0 −∞

3. On désigne parGla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parG(x)=1

4x²(9−2lnx).

On admet que la fonctionGest dérivable sur ]0 ;+∞[.

a. Sur ]0 ;+∞[,G^′(x)=1

42x×(9−2lnx)+1 4x²

#

−2 x

$

=9x

2 −xlnx−x

2=4x−xlnx=g(x) doncG est une primitive degsur ]0 ;+∞[.

b. On cherche si l’affirmation suivante est vraie :

« Il n’existe aucun réelαstrictement supérieur à 1 tel que

%α

1 g(x)dx=0. »

%α

1 g(x)dx=G(α)−G(1) donc

%α

1 g(x)dx=0 ⇐⇒G(α)−G(1)=0 ⇐⇒G(α)=G(1) G(1)=1

4×1²(9−2ln 1)=9 4

Il s’agit donc de savoir s’il existe un réelα>1 tel queG(α)=9 4.

Le fonctionGest dérivable donc continue, et a pour dérivée la fonctiong dont on connaît le signe : on sait que six>e⁴,g(x)<0 donc la fonctionGest strictement décroissante sur l’intervalle&

e⁴;+∞' .

• lim

x→+∞lnx= +∞ =⇒ lim

x→+∞9−2lnx= −∞ =⇒ lim

x→+∞

1

4x²(9−2lnx)= −∞

=⇒ lim

x→+∞G(x)= −∞

• G(e⁴)=1 4

!e⁴"2! 9−2ln!

e⁴""

=1

4e⁸(9−8)= e⁸ 4 >9

4 La fonctionG est continue, strictement décroissante sur &

e⁴;+∞'

; de plusG(e⁴)> 9 4 et

x→+∞lim G(x)= −∞. Donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équa- tionG(x)=9

4admet une solution unique sur&

e⁴;+∞' . L’affirmation proposée est donc fausse.

Antilles–Guyane 5 9 septembre 2019

3. Sur ]0 ; +∞[, G⁰(x) = 1

42x×(9−2 lnx) + 1 4x²

−2 x

= 9x

2 −xlnx− x

2 = 4x−xlnx=g(x) doncGest une primitive de g sur ]0 ; +∞[.