ln 1 ln 1

PanaMaths Janvier 2002

Déterminer :

( ) ( )

ln 1 ln 1

lim et lim

x x

x x

e e

x x

→−∞ →+∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +

Analyse

La première limite ne présente pas de forme indéterminée et se calcule directement. Quant à la seconde, on l’obtient facilement en factorisant, par exemple, l’argument du logarithme.

Résolution

Æ Calcul de ^{ln 1}

( )

lim

x

x

e

→−∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On a : 1

lim ^x lim _x 0

x e x

→−∞ = →+∞e = . D’où : _x^{lim ln 1}_→−∞

( (

) )

^{( )}

Par ailleurs : 1

lim 0

x^→−∞x= .

D’où, finalement : ^{ln 1}

( )

lim 0 0 0

x

x

e

→−∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟ = × =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Æ Calcul de ^{ln 1}

( )

lim

x

x

e

→+∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

En écrivant 1

1 e^x e^x 1 _x e

⎛ ⎞

+ = ⎜⎝ + ⎟⎠, il vient, ces deux facteurs étant positifs :

( )

( )

ln 1 e^x ln e^x 1 _x ln e^x ln 1 _x x ln 1 _x

e e e

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ = ⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠⎟⎠= + ⎜⎝ + ⎟⎠= + ⎜⎝ + ⎟⎠

PanaMaths Janvier 2002

D’où :

( )

lim ln 1 lim lim 1 1 lim

x x x x

x x x x

e x e e e

x x x x

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⎛ + ⎛⎜ + ⎞⎟⎞ ⎛ ⎛⎜ + ⎞⎟⎞ ⎛ ⎛⎜ + ⎞⎟⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ + ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎜ ⎟= ⎜ ⎟= ⎜ + ⎟= + ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠

Or, on a vu que : 1

lim ln 1 _x 0

x^→+∞ e

⎛ ⎛⎜ + ⎞⎟⎞=

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠ et 1

lim 0

x^→+∞x= . Donc :

ln 1 1

lim 0

x

x

e

→+∞ x

⎛ ⎛⎜ + ⎞⎟⎞

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Finalement : ^{ln 1}

( )

lim 1

x

x

e

→+∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Note : on pouvait également, pour cette seconde limite, utiliser les équivalents de fonctions en écrivant, au voisinage de +∞ : 1+e^x ∼e^x. On a alors : ^{ln 1}

(

) ( )

( )

ln 1 1

ex x

x x

+ ∼ = , c’est à dire : ^{ln 1}

( )

lim 1

x

x

e

→+∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Résultat final

( )

lim ln 1 0

x

x

e

→−∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

et ^{ln 1}

( )

lim 1

x

x

e

→+∞ x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠