Propriétés fonction logarithme Rappels :
Pour tous réels 𝑥 et 𝑦 strictement positifs, on a :
1) ln(1) = 0
2) ln(𝑥 × 𝑦) = ln(𝑥) + ln(𝑦) 3) ln 1
𝑥 = − ln(𝑥) 4) ln 𝑥
𝑦 = ln(𝑥) − ln(𝑦) 5) ln(𝑥 ) = 𝑦 × ln(𝑥)
6) ln √𝑥 =1 2ln(𝑥)
Utiliser les formules précédentes pour simplifier les nombres suivants : 𝐴 = ln 8 + ln 5 − ln 4
𝐵 = 2 ln 4 − 3 ln 2 𝐶 = ln(2√2)
𝐷 = ln(√5 − 2) + ln(√5 + 2) 𝐸 = ln(3 + 2√2) + ln(3 − 2√2)
Corrigé :
𝐴 = ln 8 + ln 5 − ln 4 = ln(8 × 5) − ln 4 = ln 40 − ln 4 = ln 40
4 = ln 10 𝐵 = 2 ln 4 − 3 ln 2 = ln(4 ) − ln(2 ) = ln(16) − ln(8) = ln 16
8 = ln 2 𝐶 = 𝑙𝑛 2√2 = ln 2 + ln √2 = ln 2 + ln 2 = ln 2
𝐷 = ln(√5 − 2) + ln(√5 + 2) = ln √5 − 2 √5 + 2 = ln(5 − 4) = ln(1) = 0 𝐸 = ln(3 + 2√2) + ln(3 − 2√2) = ln 3 + 2√2 3 − 2√2 = ln(9 − 8) = ln(1) = 0
