ln ln ln

PanaMaths Avril 2012

Montrer que pour tous réels x et y strictement supérieur à 1, on a :

ln ln ln

2

x y x y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ ≥

Indication : on pourra considérer la fonction ^{f x : 6 ln ln} ( ) ^{x sur}

l’intervalle 1;

^⎤_⎦

+∞

^⎡_⎣

.

Analyse

L’énoncé donnant une indication, on s’intéresse à la convexité de la fonction proposée. Celle- ci étant deux fois dérivable et l’étude du signe de la dérivée seconde ne posant pas de

difficulté particulière, on peut conclure rapidement.

Résolution

La fonction logarithme népérien est dérivable sur \^*₊. Elle l’est donc sur

]

^{1 ;+ ∞}

[

. Pour tout réel x strictement supérieur à 1, on aura lnx>0.

On déduit de ce qui précède que la fonction f est dérivable sur l’intervalle

]

^{1 ;+ ∞}

[

^.

Pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a alors, en posant ^{u x}

( )

^{=lnx :}

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ( ) )

¹

1

' 1

' ln '

ln ln

u x x

f x u x x u x

u x x x x

= D = = = = −

La fonction x6xlnx est dérivable sur l’intervalle

]

^{1;+ ∞}

[

comme produit de deux

fonctions dérivable sur cet intervalle. Comme xlnx= ⇔ =0 x 0 ou lnx= ⇔ =0 x 0 ou x=1, la fonction x6xlnx ne s’annule pas sur l’intervalle

]

^{1 ;+ ∞}

[

. On en déduit finalement que la fonction 1

x ln

x x

6 est dérivable sur l’intervalle

]

^{1 ;+ ∞}

[

^.

PanaMaths Avril 2012

Pour tout x réel strictement supérieur à 1, il vient :

( ) ( ( ) )

¹

^{( ) ( )} ( ^{( )} )

²

_{( )}

2

_{( )}

2

ln 1

'' 1 ' 1 ln

ln ln

x x x x

f x x u x u x x u x x u x

x x x x

− − + × +

= = − ×⎡⎣ + ⎤⎦ = − = −

On a immédiatement, pour tout réel x strictement supérieur à 1 :

•

( )

²

1 0

ln x x

− < .

• lnx>0 et donc : 1 ln+ x> >1 0.

En définitive, la dérivée seconde de la fonction f prend des valeurs strictement négatives sur l’intervalle

]

^{1 ;+ ∞}

[

. On en déduit que la fonction f est concave sur cet intervalle.

Pour tous réels x et y strictement supérieur à 1, on a alors :

( ) ( )

1 1

2 2 2

x y

f⎛⎜⎝ + ⎞ ≥⎟⎠ f x + f y

Soit :

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

1 1 1 1

ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln

2 2 2 2 2

x y

x y x y x y x y

⎛ ⎛⎜ + ⎞ ≥⎟⎞ + = + = =

⎜ ⎝ ⎠⎟

⎝ ⎠

Soit finalement, en tenant compte de la croissance stricte sur \^*₊ du logarithme népérien :

ln ln ln

2 x y

x y

⎛ + ⎞ ≥

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Le résultat est ainsi établi.

Résultat final

( )

^,

( ]

^1;

[ )

^{2, ln ln ln}

2 x y

x y ⎛ + ⎞ x y

∀ ∈ + ∞ ⎜⎝ ⎟⎠≥