ln ln 1 ln 2

PanaMaths Novembre 2008

Etudier la converge et, le cas échéant, calculer la somme de la série de terme général :

( ) ( )

ln ln 1 ln 2

u

n

= n a + n + + b n + où a et b sont deux paramètres réels.

Analyse

Dans un premier temps, il convient de s’intéresser à lim _n

n u

→+∞ (il faut que cette limite soit nulle pour qu’il y ait convergence). Dans un second temps, on peut rechercher un équivalent de u_n en +∞ …

Résolution

On a d’abord, pour tout entier naturel n non nul :

( ) ( )

( )

ln ln 1 ln 2

1 2

ln ln ln 1 ln ln 1

1 2

1 ln ln 1 ln 1

un n a n b n

n a n a b n b

n n

a b n a b

n n

= + + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + ⎜⎝ + ⎟⎠+ + ⎜⎝ + ⎟⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + + ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠

Pour tout couple

( )

^{a b,} de réels tels que 1+ + ≠a b 0, on a : lim _n 0

n u

→+∞ ≠ et la série de terme général u_n diverge grossièrement.

Nous supposons donc, à partir de maintenant, que l’on a : 1+ + =a b 0. Nous pouvons donner un développement limité de u_n au voisinage de +∞ :

2 2 2 2

2 2

1 2

ln 1 ln 1

1 1 1 1 2 1 4 1

2 2

2 4 1

2

un a b

n n

a o b o

n n n n n n

a b a b

n n o n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞

= ⎜⎝ − × + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠+ ⎜⎝ − × + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠

+ + ⎛ ⎞

= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠

PanaMaths Novembre 2008

Pour tout couple

( )

^{a b,} de réels tels que a+2b≠0, u_n va donc garder un signe constant à partir d’un certain rang et on a : 2

n

a b u ^+∞ n

∼ + .

La série de terme général u_n est donc de même nature que la série harmonique. Or la série 1

∑

n diverge. On en déduit que

∑

u_n ^diverge.

On suppose maintenant que l’on a : a+2b=0.

Comme on avait déjà 1+ + =a b 0, les réels a et b sont les solutions du système : 1

2 0

a b a b

+ = −

⎧⎨ + =

⎩ On obtient facilement : a= −2 et b=1.

Le développement limité obtenu ci-dessus se récrit alors : 1₂ 1₂

un o

n n

⎛ ⎞

= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠.

un va donc garder un signe constant à partir d’un certain rang et on a : 1₂ un

+∞∼−n . La série de terme général u_n est donc de même nature que la série 1₂

∑

n . Or la série 1₂

∑

n est une série de Riemann convergente. On en déduit que

∑

u_n converge.

On a alors, en posant

0 n

n n

k

S u

=

=

∑

^:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

1

1 1 1

1 1 1

1 2 1 2

2 ln 1 ln 1 2 ln ln

2 1

1 2

2 ln ln 2 ln 1 ln

1

1 2 1

3 2 4 3 5 4

2 ln 1 ln ...

1 2 2 3 3 4 1

n

n n

k

n n n

k k k

n n n

k k k

S u

k k

k k k k

k k

k k

k k n k k

n n n n

n n n n n

=

= = =

= = =

=

⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ + +

= ⎢⎣− ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦= − +

⎛ + + ⎞

+ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠= − + + ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

+ + +

× × ×

= − + + × × × × ×

× × × −

∑

∑ ∑ ∑

∏ ∏ ∏

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )

2 2

2

1

1 1 ! 2 ! 2 !

1 2 1

ln ln ln ln 2 ln

! 1 ! !

1 1

ln 2 ln 2 1 ln 1

1 ln 2 ln 2

1

n n n

n n n

n n

n n

n n

n

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

+ + +

= + = − +

+ + +

= − + ⎡⎣ + + ⎤⎦+ +

= − + + +

PanaMaths Novembre 2008

On a immédiatement : 2

lim lim 1

1

n n

n n

n n

→+∞ →+∞

+ = =

+ et donc : 2

lim ln ln1 0

1

n

n

→+∞ n

⎛ + ⎞ = =

⎜ + ⎟

⎝ ⎠ .

Finalement :

1

lim ln 2

n n n

n

u S

+∞

= →+∞

= = −

∑

^.

Résultat final

La série de terme général un =^lnn+a^ln

(

n+ +¹

)

b^ln

(

n+²

)

converge pour

( ) (

^{a b; = − +2; 1}

)

et on a alors :

1 n ln 2

n

u

+∞

=

∑

= − ^.