PanaMaths Novembre 2008
Etudier la converge et, le cas échéant, calculer la somme de la série de terme général :
( ) ( )
ln ln 1 ln 2
u
n= n a + n + + b n + où a et b sont deux paramètres réels.
Analyse
Dans un premier temps, il convient de s’intéresser à lim n
n u
→+∞ (il faut que cette limite soit nulle pour qu’il y ait convergence). Dans un second temps, on peut rechercher un équivalent de un en +∞ …
Résolution
On a d’abord, pour tout entier naturel n non nul :
( ) ( )
( )
ln ln 1 ln 2
1 2
ln ln ln 1 ln ln 1
1 2
1 ln ln 1 ln 1
un n a n b n
n a n a b n b
n n
a b n a b
n n
= + + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + ⎜⎝ + ⎟⎠+ + ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠
Pour tout couple
( )
a b, de réels tels que 1+ + ≠a b 0, on a : lim n 0n u
→+∞ ≠ et la série de terme général un diverge grossièrement.
Nous supposons donc, à partir de maintenant, que l’on a : 1+ + =a b 0. Nous pouvons donner un développement limité de un au voisinage de +∞ :
2 2 2 2
2 2
1 2
ln 1 ln 1
1 1 1 1 2 1 4 1
2 2
2 4 1
2
un a b
n n
a o b o
n n n n n n
a b a b
n n o n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎞⎞
= ⎜⎝ − × + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠+ ⎜⎝ − × + ⎜⎝ ⎟⎠⎟⎠
+ + ⎛ ⎞
= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠
PanaMaths Novembre 2008
Pour tout couple
( )
a b, de réels tels que a+2b≠0, un va donc garder un signe constant à partir d’un certain rang et on a : 2n
a b u +∞ n
∼ + .
La série de terme général un est donc de même nature que la série harmonique. Or la série 1
∑
n diverge. On en déduit que∑
un diverge.On suppose maintenant que l’on a : a+2b=0.
Comme on avait déjà 1+ + =a b 0, les réels a et b sont les solutions du système : 1
2 0
a b a b
+ = −
⎧⎨ + =
⎩ On obtient facilement : a= −2 et b=1.
Le développement limité obtenu ci-dessus se récrit alors : 12 12
un o
n n
⎛ ⎞
= − + ⎜ ⎟⎝ ⎠.
un va donc garder un signe constant à partir d’un certain rang et on a : 12 un
+∞∼−n . La série de terme général un est donc de même nature que la série 12
∑
n . Or la série 12∑
n est une série de Riemann convergente. On en déduit que∑
un converge.On a alors, en posant
0 n
n n
k
S u
=
=
∑
:( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
1
1 1 1
1 1 1
1 2 1 2
2 ln 1 ln 1 2 ln ln
2 1
1 2
2 ln ln 2 ln 1 ln
1
1 2 1
3 2 4 3 5 4
2 ln 1 ln ...
1 2 2 3 3 4 1
n
n n
k
n n n
k k k
n n n
k k k
S u
k k
k k k k
k k
k k
k k n k k
n n n n
n n n n n
=
= = =
= = =
=
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ + +
= ⎢⎣− ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦= − +
⎛ + + ⎞
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − ⎜⎝ ⎟⎠+ ⎜⎝ ⎟⎠= − + + ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠
+ + +
× × ×
= − + + × × × × ×
× × × −
∑
∑ ∑ ∑
∏ ∏ ∏
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
2 2
2
1
1 1 ! 2 ! 2 !
1 2 1
ln ln ln ln 2 ln
! 1 ! !
1 1
ln 2 ln 2 1 ln 1
1 ln 2 ln 2
1
n n n
n n n
n n
n n
n n
n
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
+ + +
= + = − +
+ + +
= − + ⎡⎣ + + ⎤⎦+ +
= − + + +
PanaMaths Novembre 2008
On a immédiatement : 2
lim lim 1
1
n n
n n
n n
→+∞ →+∞
+ = =
+ et donc : 2
lim ln ln1 0
1
n
n
→+∞ n
⎛ + ⎞ = =
⎜ + ⎟
⎝ ⎠ .
Finalement :
1
lim ln 2
n n n
n
u S
+∞
= →+∞
= = −
∑
.Résultat final
La série de terme général un =lnn+aln
(
n+ +1)
bln(
n+2)
converge pour( ) (
a b; = − +2; 1)
et on a alors :
1 n ln 2
n
u
+∞
=