un= ln n2+n+ 1 n2+n−1 EXERCICE 2 : Prouver que la série de terme général n+ 1 3n converge et calculerS

Colle PC Semaine 3 2012-2013

Analyse : Séries numériques ; Algèbre : Révisions de PCSI

EXERCICE 1 :

Étudier la convergence des sériesX un : 1. un= nⁿ

2ⁿ 2. un=

1 2

^√n

3. un= 1

√nln

1 + 1

√n

4. un= 1−cosπ n 5. un=(−1)ⁿ+n

n²+ 1 6. un=ne^−√n 7. un= ln

n²+n+ 1 n²+n−1

EXERCICE 2 :

Prouver que la série de terme général n+ 1

3ⁿ converge et calculerS=

+∞

X

n=0

n+ 1 3ⁿ

EXERCICE 3 :

Nature de la série de terme général :

cos 1

√n n

− 1

√e

EXERCICE 4 :

Nature de la série de terme général :Z ^π₂

0

cos²x n²+ cos²xdx

EXERCICE 5 :

Étudier la convergence de la série de terme généralun= n!

n^an,a∈R.

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Corrections

EXERCICE 1 :

Étudier la convergence des sériesX un : 1. lim

n→+∞un= +∞donc la série est grossièrement divergente.

2. n²un = exp(2 lnn−√

nln 2) = exp

−√ n

ln 2−2lnn

√n

. lim

n→+∞

lnn

√n = 0 et donc lim

n→+∞n²un = 0.

Par comparaison à une série de Riemann, la série est convergente.

3. un ∼

+∞

1

n car ln(1 +x)∼

0 x. La série de terme général un est divergente.

4. cosx= 1−x²

2 +o(x²) doncun ∼

+∞

π²

2n² . La série est convergente.

5. (−1)ⁿ+n₊∼

∞netn²+ 1₊∼

∞n²donc :

(−1)ⁿ+n n²+ 1 ₊∼

∞

1 n doncX

un est divergente.

6. un=ne^−√n = exp(lnn−√n) et donc

n²un= exp(lnn−√n)

−2 lnn = exp(3 lnn−√n) −→

n→+∞0 On a doncne^−√n=o

1 n²

et la série est convergente.

7. ln

n²+n+ 1 n⁺n−1)

= ln

1 + 2

n²+n+ 1

+∼∞

2

n². La série est convergente.

EXERCICE 2 : On poseun =n+ 1

3ⁿ (n∈N).

n→lim+∞n²un= 0 doncun =

+∞o 1

n²

donc la série de terme généralun converge.

On construit 1 3S =

+∞

X

n=0

n+ 1 3ⁿ⁺¹ =

+∞

X

n=1

n 3ⁿ =

+∞

X

n=1

n+ 1 3ⁿ −

+∞

X

n=1

1

3ⁿ = (S−1)−1 3

1 1−1

3

=S−3 2. On en déduit queS= 9

4.

EXERCICE 3 :

∀n>1,cos 1

√n

>0 car 1

√n ∈i 0;π

2

hainsi la série de terme général

cos 1

√n n

− 1

√e est définie. (n>1) ln cos

1

√n

= ln

1− 1 2n+ 1

24n²+o 1

n²

=− 1 2n+ 1

24n² − 1 8n² +o

1 n²

=− 1 2n − 1

12n² +o 1

n²

En multipliant parn, il vient :nln cos 1

√n

=−1 2− 1

12n+o 1

n

et en "appliquant" l’exponentielle : e^{nln(cos(1/√n)}− 1

√e = 1

√e

e^{−121n+o(n1)−1}

n→∼+∞− 1 12n√

e <0 La série de terme général− 1

12n√

e est divergente et donc la série de terme général

cos 1

√n n

− 1

√e diverge.

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EXERCICE 4 : f :x7−→ cos²x

n²+ cos²x est une fonction continue et positive surh 0;π

2

iet ∀x∈h 0;π

2

i, cos²x

n²+ cos²x6 1 n². Ainsi,

Z π/2

0

cos²x

n²+ cos²xdx6 Z π/2

0

1 n²dx.

OrZ π/2 0

1

n²dx= π

2n² et il s’agit du terme général d’une série convergente.

La série de terme généralZ π/2 0

cos²x

n²+ cos²xdxconverge.

EXERCICE 5 :

Par utilisation du critère de d’Alembert, on a : un+1

un

= (n+ 1)!

(n+ 1)^a(n+1)×n^an n! =

n n+ 1

^an

× 1 (n+ 1)^a−1 On a, par utilisation des développements limités :

n n+ 1

an

= exp(−anln(1 + 1/n)) = exp(−a+o(1))_n−→

→+∞e^−a Ainsi,

• Si a >1, un+1

un

tend vers 0, la série de terme généralun converge.

• Si a= 1, un+1

un

tend vers e⁻¹∈[0; 1[ et donc la série de terme généralun converge.

• Si a <1, un+1

un

tend vers +∞et la série diverge.

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