MPSI 2 Semaine 22
Exercice 1 Suites - Études générales
1. Soit (un)n∈N une suite réelle. Montrer que si les suites (u2n)n∈N, (u2n+1)n∈N et (u3n)n∈N sont toutes les trois convergentes, elles ont même limite et que la suite(un)n∈Nest convergente.
2. (Constante d’Euler) Montrer, pourx∈R×+, 1+xx <ln(1 +x)< xet en déduire
∀k >1, 1 2 +1
3+· · ·+1
k <lnk <1 +1
2 +· · ·+ 1 k−1
puis que la suite de terme généralHn−ln(n)est convergente ((Hn)n∈N est la série harmonique).
Sa limite se noteγ et est appelée constante d’Euler. On ne sait pas si c’est un nombre rationnel.
3. Étudier la limite de la suite de terme général
n
Y
k=1
1 + k
n2
. (On pourra prendre le logarithme.) 4. (Théorème de Cesàro) Soit(un)n∈N une suite réelle (ou complexe) convergente de limite`. Soitvn
la suite de terme général donné par la moyenne vn= u0+u1+· · ·+un
n+ 1 . Montrer
∀(n, n0)∈N2, n > n0⇒vn−`= n0+ 1
n+ 1 (vn0−`) +(un0+1−`) +· · ·+ (un−`) n+ 1
et en déduire que (vn)n∈N converge. Donner un exemple pour lequel (vn)n∈N converge mais pas (un)n∈N. On dit alors que(un)n∈N converge au sens de Cesàro.
5. (Produit de Cauchy de deux suites) Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles (ou complexes) convergentes de limites ` et mrespectivement. Montrer que la suite de terme général donné par wn= u0vn+u1vn−1+· · ·+unv0
n+ 1 est convergente de limite`m.
Exercice 2 Études de suites récurrentes
1. SoitI= [a;b]un segment,f dansC0(I, I),u0∈Iet, sin∈N,un+1=f(un). Montrer que sif est croissante, alors(un)n∈N est monotone et tend vers une limite`telle quef(`) =`. Montrer que si f est décroissante, alors les suites extraites(u2n)n∈N et(u2n+1)n∈N sont monotones convergentes.
2. Appliquer les résultats de l’exercice précédent aux suites définies par : x0 = 0 et xn+1 = xxn+1
n+2; y0= 0etyn+1= cos(yn);z0= 1/2et zn+1= (1−zn)2.
3. Soit f une fonction définie sur R et k-lipschitzienne pour un certain 0 < k < 1. Montrer que, pour tout réela, la suite récurrente définie parx0=aetxn+1=f(xn)converge vers une limite ` vérifiantf(`) =`.
4. Soit une suite vérifiant u0 >0 et, pourn∈N,un+1= 1 +√
un. Montrer qu’elle est convergente, et déterminer sa limite.
5. Soit une suite vérifiantu06= 0et, pourn∈N,un+1 =un+u1
n−1. Étudier sa convergence selon le signe deu0.
6. Soita >0etf définie surR∗+ parf(x) = 2 +a/x. Montrer quef a une unique point fixe, puis que les suites (u2n)n∈N et(u2n+1)n∈N sont monotones convergentes, et enfin que(un)n∈N converge.
7. On poseu1=√
2et, pourn∈N,un+1=p 2 +√
un. Montrer que(un)n∈N converge.
8. On considère la suite récurrente (un)n∈N associée au polynôme P = X2 −2X + 2. Tracer son graphe, montrer que u1 appartient à [1; +∞[ et que les intervalles [1; 2] et [2; +∞[ sont stables par P. En considérantP −X montrer que la suite récurrente est convergente si et seulement si u0∈[0; 2]et donner alors sa limite.
9. On considère la suite récurrente (un)n∈N associée à la fonction f de [0; 2] dans R définie par f(x) =√
2−x et de premier terme nul. Montrer que la suite est à valeurs dans[0;√
2]puis, en étudiant les points fixes deg=f ◦f, montrer que la suite récurrente est convergente.
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10. Soit(un)n∈N∗définie paru1= 1etun=√
n+un−1, i.e.un = r
n+ q
n−1 +p
n−2 +· · ·+√ 1.
Montrer, pour tout entiern,√
n≤un≤√
2net en déduireun ∼√
n. Montrer que(un−√ n)n∈N est une suite convergente vers1/2.
11. Reprendre l’étude précédente avecu1= 1 etun=√4
n+un−1.
12. Soit, pournentier naturel,fnla fonction de[0; 1[dansRdéfinie parfn(x) = 1
(1−x)2−(2x+n).
Montrer qu’elle a un seul zéro, que l’on notera un. Montrer que(fn(x))n∈N est décroissante, pour toutxdans[0; 1[, et quefn+1(un)est strictement négatif. En déduire que(un)n∈Nest convergente, puis en calculantfn en1−1/√
n, donner sa limite.
13. Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b. On notera a =bcos(α) avec αdans ]0;π/2[. Montrer que les suites définies par u0 =a, v0=bet, pour n∈N,un+1= 12(un+vn)etvn+1=√
un+1vn, admettent une limite commune, que l’on exprimera en fonction deα.
14. Soit(un)n∈N une suite récurrente définie paru0= 5etun+1=un+u−1n . En utilisant(vn) = (un)2 montrer45< u1000<45,1.
15. (Suite homographique) Soit (un)n∈N une suite récurrente définie parun+1 = un
3−2un. En consi- dérant les points fixes de l’application x 7→ x/(3−2x), utiliser une suite (vn)n∈N définie par vn=un−α
un−β pour étudierun.
16. (Suite homographique) Étudier de même la suite récurrente définie parun+1= 4un−1 un
. Exercice 3 Vitesse de convergence (*)
1. (a) Soitα >0etx1>√
α. On posexn+1= 12 xn+xα
n
. Montrer que(xn)est monotone et tend vers√
α. On pose εn=xn−√
α, montrerεn+1= 2xε2n
n <2ε√2nα. En posantβ = 2√
α, montrer εn< β
ε1 β
2n
et en déduire, pourα= 3etx1= 2,ε6<4.10−32.
(b) Remplacer la formule de récurrence précédente par xn+1 = p−1p xn+αpx1−pn , pourp∈N∗ et étudier la suite ainsi obtenue.
2. (a) Soit(un)n∈N∗ la suite réelle donnée par le périmètre du polygone régulier à2n+1 côté inscrit dans le cercle unité et dont un des sommets est(1,0). Donner une expression deun et montrer qu’on peut la calculer sans connaitre la valeur deπ.
(b) Montrerx−x3
6 ≤sin(x)≤xpour tout réelxet en déduire que la suite converge vers2π et qu’il existeθdans]0; 1[et CdansR× tels queun−2π∼Cθn.
(c) On posevn = un+1−θun
1−θ , pourn dansN∗. Montrer quevn converge vers2πplus vite que un et préciser un équivalent devn−2π.
3. (a) Soit (un)n∈N une suite réelle convergeant vers un réel`. On suppose que la suite de terme général un+1−`
un−` converge vers un certain θ dans]0; 1[. On poseθn = un+2−un+1
un+1−un
et vn= un+1−θnun
1−θn . Montrer quevn converge vers`plus vite queun.
(b) Faire l’étude de la suite récurrente définie parun+1=u−1n + 1et de premier terme1, grâce à ce qui précède.
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