On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A

D2908. Une perle de Victor Thébault ***

On inscrit dans un cercle (Γ) de centre O et de rayon unité un polygone régulier de k côtés (k > 6) et de k sommets A1,A2,...,Ak.

Soient O1 la point symétrique de O par rapport à la corde A1Ak-1 et O2 le symétrique de O par rapport à la corde A2A6. O1O2 a la dimension du côté d’un triangle équilatéral inscrit dans (Γ).

Déterminer k.

PROPOSITION Th Eveilleau

Une recherche sur un logiciel dynamique (Cabri géomètre) me permet d’arriver petit à petit au polygone régulier ayant 26 côtés.

VÉRIFICATION

Dans un cercle (Γ) de rayon unité, le côté du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle est . Ici j’ai choisi comme sens positif, le sens des aiguilles d’une montre (inverse du sens trigonométrique, mais peu importe).

Choisissons le repère orthonormé d’origine O centre du cercle (Γ).

Dans le polygone régulier ayant 26 côtés, inscrit dans ce cercle, chaque point Ai a pour coordonnées : Xi = cos ( (i-1) * 2 /26) = cos ( (i-1) * /13)

Yi = sin ( (i-1) * 2 /26) = sin ( (i-1) * /13) X1 = 1

Y₁ = 0

X2 = cos ( /13)

Y2 = sin ( /13) X6 = cos ( 5 /13)

Y6 = sin ( (5 /13) X25 = cos ( 24 /13) Y25 = sin ( 24 /13) Ou encore

X1 = 1 Y₁ = 0

X₂ = cos ( /13) Y2 = sin ( /13)

X₆ = cos ( 5 /13) Y6 = sin ( (5 /13)

X₂₅ = cos ( 2 /13) Y25 = - sin (2 /13)

Si M est le milieu de [A25 A1], alors

XM = 0.5+0.5* cos ( 2 /13) et YM = -0.5* sin ( 2 /13) O1 a donc pour coordonnées :

XO1 = 1+cos ( 2 /13) et YO1 = - sin( 2 /13) De la même façon, si N est le milieu de [A2A6], alors

XN = 0.5* ( cos ( /13) + cos ( 5 /13) ) et YN = 0.5* ( sin ( /13) + sin ( 5 /13) ) O2 a donc pour coordonnées :

XO2 = cos ( /13) + cos ( 5 /13) et YO2 = sin ( /13) + sin ( 5 /13)

La distance euclidienne d des points O₁ et O₂ est :

d² = [ 1+cos ( 2 /13) - cos ( /13) - cos ( 5 /13) ]

²

²

d² = [2 cos² ( /13) - cos ( /13) - cos ( 5 /13) ]

²

²

d² = 3

Soit

d =

Nous avons bienO1O2 de même dimension que le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle .

k=26 est une réponse rigoureuse au problème.

Un petit programme avec les équations précédentes et k remplaçant 26 permet d’arriver également à ce même résultat.

--- Cas général, on trouve avec un polygone régulier de n côtés Xi = cos ( (i-1) * /n)

Yi = sin ( (i-1) * /n) qui donnera

d² = [2 cos² ( /n) - cos ( /n) - cos ( 10 /n) ]

²

²

Une étude de la courbe montre que d²-3 ne s’annule avec des valeurs entières de n que pour n=26.

Sur les deux pages suivantes, voici le tracé

f1 (x) = d² (x)= [2 cos² ( /x) - cos ( /x) - cos ( 10 /x) ]² + [ sin ( 4 /x) + sin ( /nx) + sin ( /x) ]²

Le premier tracé pour x variant de 0 à 30 et juste après un gros plan sur els valeurs de x=0 à 3.et juste après un gros plan pour x variant de 0 à 3.

Enfin la courbe prolongée bien au-delà : elle est décroissante.

Nous notons que x=26 est la seule valeur entière à l’intersection de la courbe et de l’axe des abscisses.

Cette courbe ne coupe l’axe des abscisses qu’en x=26 comme valeur entière.

 Aucune valeur entière à l’intersection de l’axe des abscisses.

Gros plan sur les premières valeurs de x.

 Aucune valeur entière à l’intersection de l’axe des abscisses.

Courbe prolongée bien au-delà.

 Décroissance. La courbe ne recoupe pas l’axe des abscisses.