Enoncé D1992 (Diophante) Telles des entraves...
On donne une ellipse de centreO dont les sommets du petit axe sontK etK0.
Pour tout point P du cercle de diamètre [K0K] la tangente en P à ce cercle coupe l’ellipse enA etB et la tangente enAà l’ellipse coupe (K0K) en I.
Quel est le lieu des deux points communs au cercle de diamètre [OI] et au cercle de centre Apassant parP?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je prends (K0K) pour axe Oy, en sorte que l’ellipse admet pour équation x2/a2+y2/b2= 1.
Soit P(bcosf, bsinf). NotantA(u, v), la droite P A a pour équa- tionucosf +vsinf =b.
On a aussi u2/a2+v2/b2 = 1, et le point courant de la tangente en A à l’ellipse satisfait ux/a2+vy/b2 = 1. D’où les coordonnées de I(0, b2/v).
SiM(X, Y) est un point d’intersection des deux cercles indiqués, ses coordonnées vérifient
X2+Y2−b2Y /v = 0 (cercle de diamètre [OI]),
(X−u)2+ (Y −v)2 = (bcosf−u)2+ (bsinf −v)2, ou encore X2+Y2+b2−2(uX+vY) = 0, (cercle de centre A passant par P).
PosantX=rcost,Y =rsint, on obtientv=b2sint/r, 2urcost= 2uX =r2+b2cos(2t).
Substituantu etv dans u2/a2+v2/b2= 1, on obtient (r2+b2cos(2t))2 = 4a2cos2t(r2−b2sin2t).
Posant c = OF = √
a2−b2 (demi-distance focale de l’ellipse) et réarrangeant, il vient
r2= (a±c)((a±ccos(2t)).
Cette équation définit deux courbes quartiques bicirculaires, une pour chaque valeur du signe±.
