A574. Les diviseurs de n^n Pour k = 1, 2, 3,... on détermine la suite S des entiers positifs dont le terme général u

A574. Les diviseurs de n^n

Pour k = 1, 2, 3,... on détermine la suite S des entiers positifs dont le terme général u_k est égal au plus petit entier n tel que nⁿ admet au moins 10^k diviseurs entiers positifs.

Q1 Trouver le plus petit indice k1 tel qu'on trouve pour la première fois dans S deux termes consécutifs identiques, à savoir ₁

1

1  _k

k u

u .

Q2 Trouver le plus petit indice k2 tel qu'on trouve pour la première fois dans S trois termes consécutifs identiques, à savoir _{1 2 2}

2

2  _k  _k 

k u u

u .

Solution de Paul Voyer La suite S est croissante.

Si n = a^x*b^y*c^z*…*m^t, a,b,c,…,m premiers tau(n) = (x+1)(y+1)…(t+1).

Le plus petit est obtenu pour a<b<c<…<m

nⁿ = a^nx*b^ny*c^nz*…*m^nt, tau(nⁿ) = (nx+1)(ny+1)…(nt+1) ≥ 10^k Exemples :

u1=6 6⁶ a 7²=49 diviseurs > 10 u₂=10 10¹⁰ a 11²=121 diviseurs > 100 u₃=24 24²⁴ a 73*25=1 825 diviseurs > 1000 u4=30 30³⁰ a 31³=29 791 diviseurs > 10000.

u5=60 60⁶⁰ a 121*61*61=450 241 diviseurs > 10⁵ u₆=105 105¹⁰⁵ a 106³=1 191 016 diviseurs > 10⁶

u7=180 180¹⁸⁰ a 361*541*181=35 349 481 diviseurs > 10⁷ u8=210

u₉=210 210²¹⁰ a 211⁴=1 982 119 441 diviseurs > 10⁹ u₁₀=420 420⁴²⁰ a 841*421³=6.275412*10¹⁰ diviseurs > 10¹⁰ u12=840 840⁸⁴⁰ a 2521*841³=1.5*10¹² diviseurs

u₁₃=1680 1680¹⁶⁸⁰ a 6721*1681³=3.19*10¹³ diviseurs u14=2310

u15=2310

u₁₆= 2310 2310²³¹⁰ a 2311⁵ = 6.57*10¹⁶ diviseurs Q1

u_k=n doit être tel que le nombre de diviseurs tau(nⁿ) soit ≥ 10^k+1, et qu'il n'existe aucun m<n tel que tau(m^m) soit compris entre 10^k et 10^k+1-1.

(sinon uk serait égal à m<n).

Cela revient à chercher un k+1 qui exige un grand u_k+1 (plus grand que u_k).

C'est-à-dire, pour avoir un tau élevé, un grand nombre de composants premiers à une puissance basse (1).

k1=8

Q2 k2=14