Séries à termes positifs 1 Etudier la nature des séries de terme général : , , , , ,

Séries à termes positifs

1 Etudier la nature des séries de terme général : n_n

2 ,

! 2

n

n

, ⁿ_n 2

!, )!

2 (

! 2

n

nn

, _n

n n

n 3

2 )

ln( , 2 si n est pair et ^n n²3^n si n est impair,

n

1 si n est pair et 1₂

n si n est impair, 1) ln(cos

n , 1)

ln(sin 1).

ln(cos

n

n , exp((lnn)^a),

n n

n n

n b

n a

)ln

( ) (ln



 ( a > 0, b > 0 ).

2 Nature de 

)!

(

! ...

! 1

! 0

p n

n







 , où p est un entier naturel fixé.

3 CV et calcul de la somme : a 

) 2 )(

1 (

3





 n n n

n b 

² 1

arctan 1

n n

 . Vérifier avec Python.

4 Soit v_n=



 n

k

k

2

ln2 , u_n= _ n v_n

. Chercher un équivalent de v_n. Nature de



^{un ?}

5 Déterminer un équivalent de arccos en 1. Nature de ∑ 1 ) 1 (

arccos ₂

n ? de



^arccos(_^{2arctann2) ?}

6 Nature de



⁽_nⁿ_1^{)n2 ,}



^ln_n^nln(11_n^),



^(1_ln¹_n^{)n ?}

7 Soit R  ℝ(X). Nature de



^{R(n) ?}

8 CV et calcul de



¹_n^{[E( n1)E( n)] ?}

9 Soit  > 0 ; nature de



^exp(n) ? Soit  > 0 ; nature de ⁿ n1 )



(cos ^{ ?} 10 Trouver les a > 0 tels que



a

n

2n

ln converge ; dans ce cas, soit u_n=



^

n k

ka 2k

ln ; nature de



^{un ?}

11 Soit



^un une série CV de réels strictement positifs.

a Montrer que



 n

k

n k uk

n ₁

2

²

lim 1 = 0. ( fixer  > 0, découper en 2).

b Montrer que pour des réels a_j> 0, n²  (



 n

j

aj 1

)(



 n

j ₁ aj

1 ).

c Montrer que



un

n²

1 diverge.