I 3 - Séries à termes réels ou complexes I 2 - Séries à termes réels positifs I 1 - Introduction Séries numériques

Séries numériques

I 1 - Introduction

a. Définition. Convergence. Divergence.

b. Série géométrique.

I 2 - Séries à termes réels positifs a.. Théorèmes de comparaison.

b. Critère de Riemann.

c. Critère de d’Alembert et de Cauchy.

I 3 - Séries à termes réels ou complexes a. Convergence absolue.

b. Séries alternées.

c. Transformation d’Abel.

I 1 a - Définition

( ) ^u

ⁿ ∈ Ν → { } ^u

^{n S}

^u

n

∈ =

∑

Ν

0

Suite Série

Convergence d’une suite :

Lim

n

u

l

→∞

=

Convergence d’une série :

Lim

n n p

p

S L u

→∞ =

∞

= = ∑

0

Si l est fini la suite est dite convergente sinon divergente Si L est fini la série est dite convergente sinon divergente L est la somme de la série.

Exercice

I 1 1 a : Etudier la suite de terme général

I 1 1 b : Etudier la série de terme général

u ( )

n n

n

n

= + 1 − 1 ≥ 1

u

n

n

= 1 n ≥

2

1

Calculer sa somme.

> u := n -> 1+(-1)^n / n ;

u n ( )

n

n

: = → + −

1 1

lim ( )

n

n

→∞

1 + − n 1 = 1

> Sum( u(p), p=1..n) : " = value(" ) ;

> u := n -> 1 / n^2 ;

u n

n : = → 1

2

( )

u

n

p n

= − + +

∑

^{Ψ 1 1 6 1}

, π

( ) ( ) ( )

Ψ 1 1 Ψ 1 1 Ψ

2 1 1

2

, n , n , 6

n

+ = − avec = π

> Limit( u(n), n=infinity) : " = value(" ) ;

MAPLE

I 1 b - Série géométrique

La série de terme général

u

= q

avec q ∈ C

admet pour somme des n+1 premiers termes

S q q

n p n

q

p n

= = −

−

+

∑

¹ 1

1

0

{ } ^q

Conclusion :

Si |q| <1 alors la série converge vers sinon il y a divergence.

q q

p p

= −

=

∑

1 ¹

0

Nous étudions le cas où |q| = 1, soit

q = e

> q := exp(I*theta) : u := n -> q^n :

> simplify( subs( {a, b }, " " " ) ) ;

> Sum( u(p), p=0..n) : " = normal( value("

) ) ;

eI p eI n

p eI

n θ θ



θ













= −

+

= −

∑ 1 1

0 1

> a:=exp(I*theta)-1=exp(I*theta/2)*2*I*sin(theta/2) :

> b:=exp(I*theta)^(n+1)-1=exp(I*theta*(n+1)/2)*2*I *sin(theta*(n+1)/2) :

( )

eI p n

p

n θ θ eI n

θ

θ











 





 



= +

∑ = sin

sin 1

2 1

1 0 2

2 /

MAPLE

I 2 a - Théorèmes de comparaison { ^u

≥ 0 } ∀ ∈ ⁿ Ν

S

u

p n

= ≤

∑

Majorant

Th1 : Si

alors la série converge.

Th2 : Si alors

{ } ^u

converge ⇒ { } ^v

converge

{ } ^u

diverge ⇒ { } ^w

diverge

α w

≥ u

≥ β v

∀ ∈ n N , α > 0 , β > 0

I 2 b - Critère de Riemann { ^u

≥ 0 } ∀ ∈ ⁿ Ν

Th 3 : Si

décroisante alors

u

= f n ( )

(Comparaison avec une intégrale)

où f est une fonction positive,

( )

f x dx

a

∫

^{avec a ≥ 0}

et la série sont de même nature.

Critère de Riemann

u

n n

n

= 1 ≥

α

1

α > 1 la série converge, sinon elle diverge.

l’integrale

MAPLE

> u := n -> 1 / n :

> Sum( u(p), p=1..n ) : " = value( " ) ;

( )

1 1

1

p n

p n

= + +

∑

^{Ψ γ}

( ) ( ) ( )

Ψ n Ψ n Ψ

+ = 1 + n 1 = −

2 1

avec γ

> u := n -> 1 / n^alpha :

> Sum( u(p), p=1..infinity ) : " = value( " ) ;

1 ( )

p

= ζ α

=

∑

γ = 0 5772156649 . (Euler - Mascheroni)

I 2 a 1 : Nature et somme (éventuelle) des séries

u

n

n

= 1 n ≥

4

1

u

n

n

= n

− ≥

2 1

2

2

u

n

n

= n

+ ≥

2 1

3

0

1 -

2 -

3 -

Exercice

> u := n -> 1 / n^4 :

> Sum( u(p), p=2..n ) : " = value( " ) ;

> Sum( u(p), p=1..infinity ) : " = value( " ) ;

> u := n -> 2 / (n^2-1) :

1 1

4

90

4 1

p

p

=

=

∑

^π

( )

2 1

2 1

1 1

3

2

2

2

p n n n

p n

− = −

+ −

+ +

∑

> u := n -> 2 / (n^3+1) :

> Int( u(x), x=0..infinity ) : " = value( " ) ;

2 1

4

9 3

0

x

dx

+ =

∫

^π

de cette série est : 1.686503343

MAPLE

I 2 c - Critère de d’Alembert Critère de Cauchy

{ ^u

^{≥ 0} } ^{∀ ∈ n Ν}

Th 4 :

Si

u

≈ α q

(Comparaison avec la série géométrique) pour n suffisamment grand et

Critère de d’Alembert Critère de Cauchy

lim et lim

n

n

n n n n

u

u q u q

→∞

+

=

=

1

.

q < 1 la série converge q > 1 la série diverge

q = 1 la nature est indéterminée alors

I 2 c 1 : Nature et somme (éventuelle) des séries

u a

n n

n

=

≥

! 0

u

n n

=  −

 



≥ 1 1

2

2

u

= ∫

^sin

x dx n ≥ ⁰

1 -

2 -

3 -

Exercice

> u := n -> a^n / n ! :

> simplify( u(n+1) / u(n) ) ;

a n + 1

> Limit( u(n+1) / u(n), n=infinity) : " = value( ") ;

> Sum( u(p), p=0..infinity ) : " = value( " ) ;

a

p e

p a

p

! =

=

∑

0

> u := n -> (1-1 / n)^(-n^2) :

( )

lim

n n

n

n n

→∞ −

e

−

 +

 



 −

 



=

1 1

1 1 1

2

1 2

Critère de D’Alembert

MAPLE

> u := n -> a^n / n ! :

> Limit(a*n!^(-1/n), n=infinity) : " = value( " ) ;

> Limit(u(n)^(1/n), n=infinity) : " = value( " ) ;

> u := n -> (1-1 / n)^(-n^2) :

lim

n

n n

n e

→∞

−

  







 





  = 1 1

2

1

Critère de Cauchy

( )

lim

n

a n

→∞

−

=

!

1

0

Il faut simplifier un peu l’expression de u(n) sinon le résultat n’est pas obtenu.

MAPLE

> u := n -> int( sin(x)^(2*n), x=0..Pi/2) :

Intégrale de Wallis

> with(student) :

> intparts( int( cos(x)^2*sin(x)^(2*n-2),

x=0..Pi/2 ), cos(x) ) ;

sin

0 2

2 1

n

x n dx

∫

−

Récurrence sur u(n)

> rsolve({ v(n)=2*n*v(n-1) / (2*n-1),

v(0)=Pi/2 }, v(n) ) ;

( )

1 2

1 1 2 Γ

Γ n

n +

 +

 



π

MAPLE

> convert( ", factorial ) :

> u := n -> 1 / 2*n! / (n-1/2)!*Pi^(3/2) ;

u n n

n

: !

!

= →

 −

 



1

2 1

2 π

> Limit( u(n+1) / u(n), n=infinity) : " = value( " ) ;

Lim

n

n

→∞

n

+ + =

2 1

2 1 1

On ne peut conclure, il faut utiliser Raabe - Duhamel

Lim

n

n n

n u

u L

→∞



−





 =

1

1

Si

alors converge pour L > 1, sinon diverge.

MAPLE

3 a - Convergence absolue

La série est AC ssi converge.

Une série convergente mais non absolument est SC.

{ } un { } un

3 b - Séries alternées

La série

{ ^{un = − ε} ( ) ^{1 n u n} } ^{où ε = ± 1}

Une série alternée converge si décroit vers 0.

u

I 3 b 1 : Etudier la série harmonique alternée, de terme général

( )

un n n

= − 1

≥ 1

1

avec

> u := n -> (-1)^(n-1) / n :

> Sum( u(p), p=1..infinity ) : " = value( " ) ;

( ) ⁻

₌

=

∑

¹

²

p

p

p ln

MAPLE

Exercice

I 3 c - Critère d’Abel

{ ^{un = α} _{n tn} }

La série

{ } ^α n est majorée et ( t n ≥ 0 ) décroit vers 0 .

Exemple fondamental :

u e

n

n

=

avec α > 0.