230 - Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
I- L’étude d’une série numérique consiste à étudier la nature de la série (convergente, divergente) et étudier la vitesse de convergence à l’aide de développements asymptotiques. Certaines séries sont faciles à étudier, on arrive vite à voir si elles divergent ou si elles convergent, et on peut même parfois calculer leur somme.
Pour les autres, on aura besoin d’outils plus puissants.
II- De par le critère de Cauchy, l’étude des séries à termes positifs suffit parfois à déterminer la nature d’une série numérique quelconque ; on va donc focaliser sur ces séries à termes positifs. Dans le cas où on n’arrive pas à montrer l’absolue convergence, on verra d’autres méthodes pour décider de la nature d’une série.
III- Une fois qu’on connait la nature d’une série, on peut vouloir étudier sa vitesse de cv/dv, en étudiant le comportement des sommes partielles ou du reste (suivant la nature).
IV- Parfois, on peut calculer la somme des séries ; on verra des cas simples, puis des cas plus compliqués où on aura besoin de la théorie des séries entières ou de la théorie des séries de Fourier.
I) Introduction
1) Définitions
Déf : série, somme partielle, reste, convergence… [MTW 381] (donner tout d’un bloc)
2) Espaces de séries convergentes [???]
Déf : l^p
Prop : les l^p sont des evn complets 3) Absolue convergence
Prop : critère de Cauchy [MTW 385] (on est dans C complet donc S_n converge ssi Sn est de Cauchy, reste à écrire ce que ça veut dire)
Déf : abs conv [MTW 397]
Th : abs conv => conv [MTW 398] (si la série est abs cv, par le critère de Cauchy, elle est conv)
Csq : pour étudier les séries à valeurs dans R ou C, on va d’abord regarder si elles sont abs convergente, et ceci revient à étudier une série à termes positifs.
II) Des outils pour étudier la nature d’une série
1) Séries à termes positifs a) CN de convergence
Prop : ∑a_n converge => a_n --> 0 [MTW 384] (simple RpA) Ex : ∑1 diverge
b) Télescopage
Exemple : 1/n(n-1) [MTW 383]
c) Sommes partielles majorées
Prop : une série à termes positifs cv ssi la suite de ses sommes partielles est majorée [MTW 382]
Ex : somme des 1/n², majorée par celle de l’exemple précédent [MTW 383]
d) Comparaison série/intégrale
Prop : a_n=f(n). La série des a_n cv ssi la suite (int_x^n f) a une limite [MTW 387] (on encadre l’intégrale par deux sommes partielles de série)
Appl : sommes de Riemann [MTW 387]
Appl : série de Bertrand [MTW 388] (changement de var u=ln(t) dans l’intégrale) e) Théorèmes de comparaison
Th : [MTW 391] (pour le cas où a_n est équivalent à b_n, écrire a_n=(1+epsilon_n)b_n)
Appl : séries de Bertrand, cas général [MTW 392] (si alpha>1, on prend un gamma coincé entre 1 et alpha, et on factorise par 1/n^gamma, puis th de comparaison. Si alpha=1 et beta >1, on a déjà montré que ça marchait)
Ex : [MTW 392]
f) Règles de Cauchy et de d’Alembert
Prop : (Cauchy) [MTW 394] (comparaison avec une série géom : on prend un r coincé entre l et 1, et on montre qu’apcr, a_n est plus petit que r. Si l>1 on montre que le TG ne tend pas vers 0)
Prop : (d’Alembert) [MTW 395] (commencer par montrer le lemme de comparaison logarithmique : si b_n croit plus vite que a_n et que la série des b_n cv alors la série des a_n cv. Puis, par ex, si l<1, on prend r coincé entre l et 1, on pose b_n=r^n, qui cv, et a_n croit moins vite que b_n donc c’est bon)
Exemples : [MTW 394]
2) Séries à termes quelconques
On regarde d’abord si la série est absolument convergente, grâce aux outils précédents. Si elle ne l’est pas, on a d’autres outils. Rq : une série convergente mais non absolument convergente est dite semi convergente.
a) Séries alternées Déf : [MTW 398]
Th : [MTW 399] (il faut mq les suites S_2n et S_2n+1 sont adjacentes : une croissante, une décroissante et limite tend ves zéro. Pour la majoration des restes : |S-S_n|<|S_{n+1}-S_n|=|a_n+1|)
Appl : séries de Riemann alternées [MTW 399]
b) Théorème d’Abel
Th : [MTW 402] (généralisation du TSA)
Exemple : [MTW 403] (la somme de p à q des a_n*b_n est égale à la somme de a_n(B_n-B_{n-1}). On réécrit ça en mettant les B_n en facteurs au lieu des a_n et ça se fait)
c) Comparaison série/intégrale pour valeurs complexes
Th : [MTW 403] (faire un dessin ! on pose w_n=f(n)-ିଵ ݂ሺݐሻ݀ݐ. IPP, on majore pour mq la série des w_n est abs cv) Ex : [MTW 404]
III) Comportement des sommes partielles ou des restes
1) Sommation des relations de comparaison Th : sommation des relations de comparaison [MTW 406]
Ex : [MTW 406]
2) Développements asymptotiques de restes ou de sommes partielles
Th : formule de Mac Laurin ordre 1 [MTW 409] (on pose w_n=f(n)-ିଵ ݂ሺݐሻ݀ݐ, 2 IPP, on pose t_n=w_n(f’’), IPP. On exprime w_n en fonction de t_n puis en fonction de f(n) et l’intégrale de f’’. On somme ces relations, on majore ce qu’il y a dans l’intégrale en étudiant la fct u->u(1-u) etc)
Appl : développement série harmonique [MTW 411]
Appl : Stirling [MTW 411] (appliquer Euler Mac Laurin à la série des ln(n) puis prendre l’exponentielle) Appl : développement reste ∑1/n² [MTW 412]
3) Un exemple [FG 96] (mal placé) La série des inverses des nb premiers diverge
Appl : il existe une infinité de nb premiers (immédiat) Formule avec Dzeta (immédiat)
IV) Calcul de sommes de séries
1) Premiers calculs Th : séries géométriques Rq : télescopages
2) Outils provenant des séries entières Th Abel [MTW 485]
Appl : Pi/4 et arctan [MTW 486]
Th Taubérien fort [MTW 486]
Appl : ln(2) [MTW 487]
3) Outils provenant des séries de Fourier Déf : an(f), cn(f), Sn(f)
Th : si f est continue, 2Pi period et C^1 par morceaux, Sn(f) converge normalement vers f.
Appl : somme des 1/n², avec la fonction f(x)=Pi²-x² [MTW 529]
Th : Parseval
Appl : somme des 1/n^4 [MTW 529]
4) Application : probabilité que deux nombres soient p.e.e [FGN Alg1]
Déf : fonction de Mobius Lemme : somme des mu(d)
Th : proba que deux nombres soient p.e.e
Développements :
1 - Euler-MacLaurin ordre 1 + appl [Analyse L2 409] (***) 2 - La série des inverses des nb premiers diverge [FG 96] (**)
Remarques :
- Pour déterminer la nature d’une série, il existe d’autres méthodes : Test de la loupe de Cauchy, test de Raabe- Duhamel et de Gauss (raffinement de d’Alembert)
- Développement asymptotique précis de la série harmonique [FGN 145]
- Séries doubles, Fubini
- Opérations sur les séries (produit de Cauchy, produit de convolution) - Séries commutativement convergentes [MTW 426]
Bibliographie :
[MTW] Marco & Thieullen & Weil – Mathématiques L2 [FG]
[FGN Alg 1]
Rapport du jury : le jury demande que les candidats ne confondent pas équivalents et développements asymptotiques, par exemple, pas confondre Hn équivalent à ln(n)+gamma+1/2n et Hn=ln(n)+gamma+1/2n+o(1/n).
