Un théorème de Helson pour des séries de Walsh

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Un théorème de Helson pour des séries de Walsh

Jean-Pierre Kahane

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Jean-Pierre Kahane. Un théorème de Helson pour des séries de Walsh. 2007. �hal-00175237�

hal-00175237, version 1 - 27 Sep 2007

Un th´eor`eme de Helson pour des s´eries de Walsh

Jean–Pierre Kahane Laboratoire de Math´ematique,

Universit´e Paris–Sud `a Orsay

Henry Helson a ´etabli en 1954 le th´eor`eme suivant : Si les sommes par- tielles d’une s´erie trigonom´etrique sont positives, les coefficients tendent vers z´ero [1]. C’est une des perles de la th´eorie des s´eries trigonom´etriques, en- core mise en valeur par le fait que l’hypoth`ese n’entraˆıne pas que la s´erie trigonom´etrique est une s´erie de Fourier–Lebesgue (Katznelson 1965 [2]).

Nous allons montrer l’analogue des th´eor`emes de Helson et de Katznelson pour les s´eries de Walsh, avec un compl´ement au th´eor`eme de Katznelson qui s’´etend aux s´eries trigonom´etriques.

Th´ eor` eme I.— Si les sommes partielles d’une s´erie de Walsh sont posi- tives, les coefficients tendent vers z´ero.

Th´ eor` eme II.— Soit ψ une application croissante de R

⁺

sur R

⁺

, telle que lim

x→0

(ψ(x)/x

²

) = 0. Alors a) il existe une mesure de probabilit´e singuli`ere µ sur [0, 1] dont les sommes partielles de la s´erie de Walsh sont positives, et dont les coefficients de Fourier–Walsh, µ(n), v´erifient b

P

∞ 0

ψ( |b µ(n) | ) < ∞ b) le mˆeme ´enonc´e vaut pour les s´eries et les coefficients de Fourier au sens usuel.

Pr´ecisons les notations pour les s´eries de Walsh. Au lieu de [0, 1], il

est commode de les d´efinir sur le groupe multiplicatif {− 1, 1 }

^N∗

, que nous

d´esignerons par D . Les fonctions coordonn´ees r

1

, r

2

, . . . sont les fonctions de

Rademacher, et elles engendrent par multiplication les fonctions de Walsh

w

_n

(n = 0, 1, 2, . . .) qui sont les caract`eres de D . On ordonne ainsi les w

_n

= 1,

w

₁

= r

₁

, w

₂

= r

₂

, w

₃

= r

₁

r

₂

, w

₄

= r

₃

etc, c’est–`a–dire

(1) w

n

= Y

r

_j^αj

, α

j

= 0 ou 1 et X

α

j

< ∞ .

Aux entiers n on associe ainsi les suites finies (α

j

) de 0 et de 1, et l’ordre croissant des n est l’ordre lexicographique inverse des mots (α

j

).

Une s´erie de Walsh est une s´erie formelle de la forme P

∞

0

c

n

w

n

, o` u les coefficients c

n

sont r´eels ou complexes. Nous nous bornerons aux c

n

r´eels. Les fonctions de Walsh op´erant par multiplication sur les s´eries de Walsh. Nous aurons besoin du lemme suivant.

Lemme .— Soit S une s´erie de Walsh et w

m

une fonction de Walsh.

Ecrivons w

m

S sous la forme

w

_m

S = X

∞

0

d

_n

w

_n

.

Alors, pour chaque k, la somme partielle d’ordre 2

^k

,

²

k−1

P

0

d

_n

w

_n

, est le produit par w

m

d’une diff´erence de sommes partielles de la s´erie S.

Preuve. La s´erie P

∞

0

d

n

w

n

w

m

n’est autre que la s´erie S dont on a modifi´e l’ordre des termes. Reste `a montrer que les w

_n

w

_m

(n = 0, 1, . . . , 2

^k

− 1) constituent, `a l’ordre pr`es, une suite de 2

^k

fonctions de Walsh cons´ecutives.

Pour cela, ´ecrivons les w

n

sous la forme (1) (avec ici α

j

= 0 ou 1 pour j ≤ k et α

j

= 0 pour j > k) et w

m

= Q

r

_j^βj

(β

i

= 0 ou 1). Les w

n

w

m

s’´ecrivent Q r

_j^γj

avec γ

_j

= 0 ou 1 et γ

_j

= α

_j

+ β

_j

modulo 1. Ainsi (γ

_j

)

j=1,2,...,k

parcourt { 0, 1 }

^k

quand (α

j

)

j=1,2,,...,k

parcourt { 0, 1 }

^k

, tandis que (γ

j

)

j>k

= (β

j

)

j>k

. Donc les indices des w

n

w

m

, qui s’´ecrivent

P

k 1

+ P

∞ k+1

γ

j

2

^j−1

, parcourent un segment des entiers de longueur 2

^k

, CQFD.

A toute s´erie de Walsh S est associ´ee une martingale dyadique constitu´ee par ses sommes partielles d’ordre 2

^k

(k = 0, 1, 2, . . .)

M

k

= M

k

(S) =

2

X

^k−1

0

c

n

w

n

,

et on obtient ainsi toutes les martingales dyadiques d´efinies sur D . Rappelons des propri´et´es des martingales dyadiques dont nous nous servirons.

P1. S est la s´erie de Fourier–Walsh d’une mesure de Radon r´eelle sur D , c’est–`a–dire c

n

= R

w

n

dµ, µ ∈ M ( D ), si et seulement si les M

k

sont born´es dans L

¹

( D ). Dans ce cas, les M

k

tendent presque partout sur D vers la densit´e de la partie absolument continue de µ, et les M

k

tendent vers µ dans M ( D ) au sens faible, comme formes lin´eaires sur C( D ).

P2. S est la s´erie de Fourier–Walsh d’une fonction r´eelle int´egrable sur D , soit c

n

= R

f w

n

, f ∈ L

¹

( D ), si et seulement si les M

k

sont uniform´ement int´egrables. Dans ce cas, les M

_k

tendent vers f presque partout et dans L

¹

( D ).

P3. S est la s´erie de Fourier–Walsh d’une mesure positive µ ∈ M

⁺

( D ) si et seulement si les M

k

sont positives, M

k

≥ 0.

Ici comme dans la suite, positif signifie ≥ 0.

Preuve du th´ eor` eme I .

Supposons les sommes partielles de la s´erie S positives, et de plus c

0

= 1. Alors S est la s´erie de Fourier–Walsh d’une mesure de probabilit´e µ ∈ M

⁺1

( D ), soit c

n

= b µ(n), et

M

k

= M

k

(r

1

, r

2

, . . . , r

k

) =

2

X

^k−1

0

µ(n)w b

n

.

Ecrivons

M

k+1

= M

k

+ r

k+1

N

k

, N

k

= N

k

(r

1

, r

2

, . . . r

k

) N

k

=

2

X

^k−1

0

N b

k

(m)w

m

N

_k^∗

= sup

0≤n<2k

X

n

0

N b

_k

(m)w

_m

L’hypoth`ese que les sommes partielles de S soient positives se traduit par

(2) N

_k^∗

≤ M

k

(k = 0, 1, . . .)

Supposons que les b µ(n) ne tendent pas vers 0, c’est–`a–dire qu’il existe

un a > 0, une suite strictement croissante d’entiers k

_j

, et des entiers n

_j

∈

[2

^kj

, 2

^kj+1

[ tels que |b µ(n

j

) | ≥ a, et tentons d’´etablir une contradiction.

Supposons d’abord n

_j

= 2

^kj

. Les N

_ki

sont born´es dans L

¹

( D ) et | N b

_kj

(0) | ≥ a puisque N b

ki

(0) = µ(2 b

^kj

). Quitte `a remplacer la suite (k

j

) par une sous–

suite, nous pouvons supposer que les N

_kj

convergent faiblement vers une mesure ν ∈ M ( D ). Ainsi

ν(n) = lim b

i→∞

N b

ki

(n) et en particulier b ν(0) 6 = 0.

Les sommes

ν

k

=

2

X

^k−1

0

b ν(n)w

n

(k = 0, 1, 2, . . .)

forment une martingale dyadique born´ee dans L

¹

( D ) (propri´et´e P1) et, pour chaque k,

ν

_k

= lim

j→∞

2

X

^k−1

0

N b

_ki

(n)w

_n

. L’hypoth`ese de positivit´e, sous la forme (2), entraˆıne (3)

2

X

^k−1

0

N b

ki

(n)w

n

≤ M

ki

lorsque k

j

≥ k, donc | ν

k

| ≤ M

ki

.

Or les M

ki

convergent presque partout vers une f ∈ L

¹

, la densit´e de la partie absolument continue de µ (propri´et´e P1). Donc

| ν

k

| ≤ f .

Cela entraˆıne que les ν

k

sont uniform´ement int´egrables, donc convergent dans L

¹

( D ) (propri´et´e P2), donc que ν est absolument continue.

D’autre part, si l’on d´ecompose µ en sa partie absolument continue et sa partie singuli`ere, µ = µ

^a

+ µ

^s

, on peut ´ecrire ´egalement M

k

= M

_k^a

+ M

_k^s

et N

_k

= N

_k^a

+ N

_k^s

. Les M

_k^a

convergent vers f dans L

¹

( D ), donc les N

_k^a

tendent vers 0 dans L

¹

( D ), donc ν est la limite faible des N

_k^s_j

. Or, pour tout ε > 0 et tout k,

(N

_k^s

> ε) ⊂ M

_k^s

> ε 2

∪ M

_k+1¹

> ε 2

et la mesure du second membre tend vers 0 quand k → ∞ . Donc ν est

singuli`ere. La contradiction est ´etablie dans le cas particulier n

j

= 2

^ki

.

Passons au cas g´en´eral. On consid`ere maintenant les N

_k^′_j

= w

mj

N

kj

, m

j

= n

j

− 2

^kj

.

Ainsi N b

_k^′_j

(0) = N b

kj

(m

j

) = µ(n b

j

). Comme ci–dessus, quitte `a restreindre la suite (n

j

), les N

_k^′_j

convergent faiblement vers une mesure ν

^′

singuli`ere, non nulle puisque b ν

^′

(0) 6 = 0. Pour montrer que ν

^′

est absolument continue, le point crucial est l’analogue de (3) que l’on obtient en appliquant le lemme `a N

kj

(pour S) et w

mj

(pour w

m

). On obtient ainsi, pour k ≥ k

j

,

(4)

2

X

^k−1

0

N b

_k^′_j

(n)w

n

≤ 2 M

kj

,

ce qui permet d’achever la d´emonstration que ν

^′

est absolument continue. La contradiction est ainsi ´etablie dans le cas g´en´eral, et cela ach`eve la preuve du th´eor`eme 1.

Remarque. Cette preuve est calqu´ee sur celle de Helson. Comme ici, Helson met en ´evidence, sous l’hypoth`ese que les coefficients ne tendent pas vers z´ero, une mesure ν non nulle qui est `a la fois singuli`ere et absolument continue. Mais la d´emonstration de la continuit´e absolue est diff´erente. Helson utilise un th´eor`eme de Fr´ed´eric et Marcel Riesz qui appartient `a la th´eorie des fonctions analytiques. On utilise ici la th´eorie des martingales. L’emploi en parall`ele des martingales et des fonctions analytiques est classique en analyse harmonique depuis les th´eor`emes de Paley et de Littlewood–Paley.

Une autre diff´erence entre les preuves est l’utilisation de l’hypoth`ese.

La positivit´e des sommes partielles entraˆıne que les sommes partielles sont born´ees dans L

¹

, et Helson n’utilise rien d’autre. Au contraire, nous avons utilis´e de mani`ere essentielle une autre cons´equence de la positivit´e, la for- mule (2) (´equivalente `a la positivit´e des sommes partielles).

Preuve du th´ eor` eme II.

Partie a)

On construit la mesure µ comme produit infini µ = Y

(1 + X

_k

)

o` u les X

_k

sont de polynˆomes de Walsh ind´ependants `a valeurs dans l’intervalle

[ − 1, 1] et de valeur moyenne nulle : | X

k

| ≤ 1 et EX

k

= 0. Posons EX

_k²

=

σ

_k²

. Lorsque P

σ

²_k

< ∞ , le produit infini converge dans L

²

( D ), donc µ est absolument continue. Lorsque P

σ

_k²

= ∞ , µ est une mesure de probabilit´e singuli`ere.

Voici une d´emonstration rapide de ce dernier fait, tir´ee de [3]. Supposons P σ

_k²

= ∞ . Les

^X_σ^k

k

forment un syst`eme orthonormal dans L

²

( D , λ), o` u λ d´esigne la mesure de Haar sur D . On v´erifie que les

^X_σ^k

k

− σ

k

sont de valeur moyenne nulle et deux `a deux orthogonales dans L

²

( D , µ) :

E

µ

X

k

σ

k

− σ

k

= E

λ

X

k

σ

κ

− σ

k

(1 + X

k

)

= 0 et, pour k 6 = k

^′

,

E

µ Xk

σk

− σ

k

Xk′

σk′

− σ

k^′

=E

λ Xk

σk

− σ

k

Xk′

σk′

− σ

k^′

(1 + X

k

)(1 + X

k^′

)

=E

λ Xk

σk

− σ

k

(1+X

k

)

E

λ Xk′

σ_k′

− σ

k^′

(1+X

k^′

)

= 0.

De plus,

E

µ Xk

σk

− σ

k

2

= E

λ Xk

σk

− σ

k

2

(1 + X

k

)

≤ 2 E

_λ ^X_σ^k

k

− σ

_k

2

= 2(1 + σ

_k²

) ≤ 4 . Pour toute suite (b

k

) ∈ ℓ

²

, les s´erie P

b

kXk

σk

et P b

k Xk

σk

− σ

k

convergent respectivement dans L

²

( D , λ) et dans L

²

( D , µ). Si µ n’´etait pas orthogonale

`a λ, il existerait un point de D et une suite d’entiers n

i

tels que les sommes partielles d’ordre n

i

des deux s´eries convergent en ce point. Par diff´erence, les sommes partielles d’ordre n

_i

de la s´erie P

b

_k

σ

_k

convergeraient. Or on peut choisir les b

k

> 0, (b

k

) ∈ ℓ

²

, de fa¸con que la s´erie P

b

k

σ

k

diverge. Donc µ ⊥ λ.

Remarquons que l’hypoth`ese d’ind´ependance des X

k

peut ˆetre remplac´ee par une condition d’orthogonalit´e forte, `a savoir

Z Y X

_k^αk

= 0

pour toutes les suites (α

k

) constitu´ees de 0, 1 et 2, et finies ( P

α

k

< ∞ ), contenant au moins un 1 et au plus deux 2. C’est sous cette forme que la m´ethode a ´et´e introduite et utilis´ee par Peyri`ere dans l’´etude de la singularit´e mutuelle des produits de Riesz [3].

On imposera donc la condition P

σ

_k²

= ∞ , et il s’agit maintenant de construire les X

_k

de fa¸con que les sommes partielles de la s´erie de Fourier–

Walsh de µ soient positives, et que les coefficients v´erifient la majoration

|b µ(n) | ≤ ψ(n). Pour cela, il est commode de disposer de polynˆomes de Walsh de la forme suivante :

ϕ = ϕ(r

1

, r

2

, . . . r

ℓ

) =

2^ℓ

X

1

ε

n

w

n

, ε

n

= ± 1 pour lesquels

k ϕ k

v

= sup

1≤p≤2^ℓ

k X

p

1

ε

_n

w

_n

k

^∞

< C 2

^ℓ/2

= C k ϕ k

2

,

C ´etant une constante absolue. Voici une construction classique de tels polynˆomes : on pose P

₀

= Q

₀

= 1, P

_ℓ+1

= P

_ℓ

+ r

_ℓ+1

Q

_ℓ

, Q

_ℓ+1

= P

_ℓ

− r

_ℓ+1

Q

_ℓ

(2 = 0, 1, . . .), on v´erifie que P

_ℓ²

+ Q

²_ℓ

= 2

^ℓ+1

, d’o` u

k P

ℓ

k

^v

≤ 2

^ℓ/2

+ 2

^(ℓ−1)/2

+ · · · ≤ 2

^ℓ/2

√ 2

√ 2 − 1

et on pose ϕ(r

1

, r

2

, . . . , r

ℓ

) = r

1

P

ℓ

. C’est la construction donn´ee dans le cas trigonom´etrique par Harold Shapiro puis par Walter Rudin, et la suite (ε

r

) s’appelle la suite de Rudin–Shapiro.

Etant donn´e un ensemble d’entiers positifs J, de cardinal 2

^ℓ

, on d´esignera par ϕ((r

j

), j ∈ J) le polynˆome de Walsh obtenu `a partir de ϕ(r

1

, r

2

, . . . r

ℓ

) en substituant `a r

₁

, r

₂

, . . . r

_ℓ

les r

_j

, j ∈ J, dans l’ordre croissant des j. La construction de µ va d´ependre essentiellement du choix d’une suite tr`es rapi- dement croissante d’entiers ℓ

k

, que nous ferons plus tard. Pour chaque k, soit J

_k

un ensemble d’entiers, de cardinal 2

^ℓk

, situ´e `a droite de J

_k−1

: inf J

_k

>

sup J

k−1

. Posons

a

k

= 1

2C 2

^−ℓk/2

X

k

= a

k

ϕ((r

j

), j ∈ J

k

) .

Explicitons les normes de X

k

dans L

²

, dans U (maximum des valeurs absolues

des sommes partielles), dans A (somme des valeurs absolues des coefficients)

et dans P M (sup des valeurs absolues des coefficients) : k X

k

k

²

= 1

2C , k X

k

k

^U

< 1

2 , k X

k

k

^A

= 1

2C 2

^ℓk/2

, k X

_k

k

P M

= 1

2C 2

^−ℓk/2

.

Comme les J

k

sont disjoints, les X

k

sont bien ind´ependants, et on a bien EX

k

= 0 et P

σ

_k²

= ∞ . Posons

Π

k

= (1 + X

1

)(1 + X

2

) · · · (1 + X

k

) .

Une somme partielle de la s´erie de Fourier–Walsh de µ dont l’ordre est com- pris entre sup J

j

et sup J

j+1

est la somme de Π

k

et d’une somme partielle de Π

_k

X

_k+1

, ce que nous ´ecrivons

S

·

(µ) = S

·

(X

k+1

) = Π

k

+ S

··

(Π

k

X

k+1

) . Cette derni`ere somme partielle se d´ecompose `a son tour en

S

··

(Π

k

X

k+1

) = Π

k

S

···

(X

k+1

) + S

····

(Π

k

) × un coefficient de X

k+1

. Donc S

·

(X

_k+1

) ≥ Π

_k

− Π

_k

k X

_k+1

k

U

− S

····

(Π

_k

) k X

_k+1

k

P M

≥ 1

2 Π

k

− 1

2C 2

^{−(ℓk+1/2)}

k Π

k

k

^A

. Imposons la condition que, pour tout k,

(5) 1

2C 2

^{−(ℓk+1/2)}

k Π

k

k

^A

≤ 1

4 inf Π

k

. Il en r´esulte que S

·

(X

k+1

) ≥

¹₄

Π

k

, donc S

·

(µ) ≥ 0.

Ecrivons ψ(x) = x

²

ε(x). Alors X ϕ( b µ(n)) ≤ X

k

k Π

k

X

k+1

k

²2

ε( k Π

k

X

k+1

k

^{P M}

) .

Or

k Π

k

X

k+1

k

²2

≤ 1

4C

²

k Π

k

k

²A

et

ε( k Π

k

X

k+1

k )

P M

≤ ε( k X

k+1

k

^{P M}

) = ε 1

2C 2

^{−(ℓk+1/2)}

.

Si, outre (5), on impose `a la suite (ℓ

k

) la condition

(6) X

k Π

k

k

²A

ε 1

2C 2

^{−(ℓk+1/2)}

< ∞ , ce qui est possible, la conclusion du th´eor`eme est v´erifi´ee.

La conclusion de la partie a) du th´eor`eme est v´erifi´ee.

Partie b)

On choisit ici des polynˆomes trigonom´etriques ϕ

ℓ

(t) =

X

ℓ

a

ε

n

cos nt , ε

n

= ± 1 , avec la propri´et´e de

k ϕ

ℓ

k

^v

≤ C ℓ

^1/2

= C k ϕ

ℓ

k

²

, et on choisit

X

k

(t) = a

k

ϕ

ℓk

(ℓ

k

t) , a

k

= 1

4C 2

^−ℓk/2

.

Les X

k

ne sont plus des fonctions ind´ependantes, mais, si la suite (ℓ

k

) est assez rapidement croissante, elles sont orthogonales au sens fort qui a ´et´e d´ecrit ci–dessus. On d´efinit donc

µ = Y

∞

1

(1 + a

k

ϕ

ℓk

(ℓ

k

t))

et on v´erifie par les mˆemes calculs que ci–dessus que µ est singuli`ere, que ses sommes partielles sont positives, et que P

ϕ( |b µ(n) | ) < ∞ . C’est exactement la m´ethode de Katznelson.

Cet article a ´et´e ´ecrit en septembre 2004 pour fˆeter les 50 ans du th´eor`eme

de Helson et les 70 ans d’Yitzhak Katznelson (14 novembre 2004).

R´ ef´ erences

[1] Helson , Henry Proof of a conjecture of Steinhaus, Proc. Nat. Acad. USA 40 (1954), 205–206.

[2] Katznelson , Yitzhak Trigonometric series with positive partial sums, Bull. Amer. Math. Soc. 71 (1965) 718–719.

[3] Peyri` ere , Jacques Etude de quelques propri´et´es des produits de Riesz, Annales de l’Institut Fourier 25, 2 (1975), 127–169.

Jean–Pierre Kahane

Laboratoire de Math´ematique Universit´e Paris–Sud, Bˆat. 425 91405 Orsay Cedex

Jean-Pierre.Kahane@math.u-psud.fr