1 – Th´eor`eme de Radon–Nikodym

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

Exercices additionels : Radon–Nikodym et mesures

1 – Th´eor`eme de Radon–Nikodym

E

^{xercice 1.} (Contre-Exemple `a R-N)Soitmla mesure de comptage sur (R,P(R)) c’e-`a-dire quem(A) =

#Apour toute partieAdeR. On notem_la reriion dem `a la tribu bor´elienne deR.

. Montrer que la mesure de Lebesgue eabsolument continue par rapport `am_.

. Montrer qu’il n’exie pas de fonion mesurablef :R→R₊telle queλ=f ·m_, o `uλd´esigne la mesure de Lebesgue.

. Conclure quelque chose d’intelligent et intelligible.

E

^{xercice 2.} (Quantification de l’absolue continuit´e)Soient µetν deux mesures sur un espace mesu- rable (E,A).

. On suppose que pour toutε >, il exieη >tel que pour toutA∈ A, µ(A)≤η ⇒ ν(A)≤ε.

Montrer queνeabsolument continue par rapport `aµ.

. Montrer que la r´eciproque evraie dans le cas o `u la mesureν efinie.Que se passe-t-il siν e infinie ?

2 – Mesures

E

^{xercice 3.} (Le retour du diable)On conruit r´ecursivement une suite (fn)_n≥de fonions continues sur [,] telles quef() =etf() =comme suit. On posef_(x) =xpourx∈[,]. On conruitf_n+

`a partir de f<sub>n</sub> en remplac¸antf<sub>n</sub>, sur chaque intervalle maximal [u, v] o `u elle n’epas conante, par la fonion lin´eaire par morceaux qui vaut (fn(u) +f_n(v))/surh_u

 +^v_,^v_ +^u_i .

. Verifier que|f_n+(x)−f_n(x)| ≤⁻ⁿ pour tout n≥etx ∈[,]. En d´eduire que f_n converge uni- form´ement sur [,] vers une fonion continue not´eef_diable.

. Soitµ_diable la mesure sur [,] d´efinie comme ´etant la mesure de Stieljes associ´ee `af<sub>diable</sub>. Mon- trer queµ<sub>diable</sub>e ´etrang`ere par rapport `a la mesure de Lebesgue. La mesureµ_diable a-t-elle des atomes ?

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a [email protected] , ou bien `a venir me voir au bureau V.



E

^{xercice 4. (L’espaceM(R))}

(i) Montrer queM(R) l’espace des des mesures bor´eliennes sign´ees surReun espace de Banach pour la norme

µ7→ kµk, o `ukµk=|µ|(R).

(ii) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. Montrer que pour toutf ∈L^(X,A, µ) : kfk_=kf ·µk,

o `u (f ·µ) ela mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef.

3 – Dualit´e L

^p

− L

^q

On rappelle le r´esultat suivant, appel´e dualit´e L^p−L^q. Soit ν une mesure σ-finie sur (E,A), soit p∈[,∞[ et soitql’exposant conjug´e dep. Alors, siΦ eune forme lin´eaire continue surL^p(E,A, ν), il exie une unique applicationg∈L^q(E,A, ν) telle que pour toutf ∈L^p(E,A, ν),Φ(f) =R

f gdν. De plus la norme d’op´erateur deΦ ekΦk=kgk_q.

E

^{xercice 5.} (S´equentielle compacit´e faible) Soitp∈],∞[ etqson exposant conjugu´e,Ω⊂Run ouvert de Retµla mesure de Lebesgue. Soit (f_n) une suite born´ee deL^p(Ω) (c-`a-dque la suite (kf_nk

p)_n≥ e born´ee).

. Montrer queL^q(Ω) es´eparable (c’e`a dire qu’il contient une partie d´enombrable dense).

. SoitD une partie d´enombrable dense deL^q(Ω). Montrer qu’il exie une sous-suite (fϕ(n)) telle que pour touth∈D,

nlim→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)hdµexie dansR.

. Montrer que pour toutg∈L^q(Ω),

φ(g) = lim

n→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)gdµexie dansR.

. En d´eduire qu’il exief ∈L^p(Ω) telle que l’on aitconvergence faibledansL^p(Ω) de la suite (f_ϕ(n)) versf, c’e-`a-dire :

∀g∈L^q(Ω), lim

n→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)gdµ= Z

Ω

f gdµ.

. Le r´esultat pr´ec´edent subsie-t-il pourp=?

E

^{xercice 6.} (Petit contre-exemple) Soient E ={a, b} etµ la mesure d´efinie sur P(E) par µ({a}) = et µ({b}) =µ(E) = +∞. Cara´eriserL^∞(µ) et le dual topologique deL^(µ). Conclure.

4 – Pour pr´eparer le partiel `a venir

Chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sur disponibles sur le site d’enseignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement– partieArchives p´edagogiques, puisAnnales d’examens).



 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7.} (Fonions `a variation finie) Soit une fonionf : [a, b]→R.

. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) f s’´ecrit comme une diff´erence de deux fonions croissantes continues `a droite.

(ii) Il exie une mesure sign´eeµsur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].

(iii) f econtinue `a droite et `a variation born´ee c’e-`a-dire quef v´erifie la condition suivante

sup

n≥,a≤a_<...<a_n≤b n−

X

i=

|f(a_i+)−f(a_i)|<∞.

. Donner un exemple de fonion continue [,]7−→Rqui ne soit pas `a variation finie.

E

^{xercice 8.} (Th´eor`eme de Vitali-Saks)Soit (X,A, µ) un espace mesur´e. Une famille (ν<sub>i</sub>)<sub>i</sub>∈I de mesures surAediteabsolument ´equicontinuepar rapport `a la mesureµsi :











∀ >,∃A∈ A, µ(A)<+∞et∀i∈I, ν_i(A^c)< ,

∀ >,∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ=⇒ ∀i∈I, ν_i(A)<

On suppose que A=σ(C), o `u C eune classeable par interseion finie contenantX. Le but ede prouver le r´esultat suivant

Th´eor`eme de Vitali-Saks.Soit (ν<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥une suite de mesures finies surA, absolument ´equicontinue par rapport `a µet telle que pour toutC ∈ C, lim_nν_n(C) exie dans R₊. Alors pour toutA∈ A,ν(A) = lim_nν_n(A) exie dansR₊etνd´efinit une mesure absolument continue par rapport `aµ.

. SoitB={A∈ A;ν(A) = lim_nν_n(A) exie dansR₊}. Montrer queBe able par diff´erence propre (c-`a-d siA, B∈ BavecA⊂B, alorsB\A∈ B).

. Soient (Bk)_k≥une suite d’´el´ements deux `a deux disjoints deBetBleur r´eunion. Montrer que

nlim→∞ν_n(B) =X

k≥

nlim→∞ν_n(B_k).

. En d´eduire queB=A.

. Montrer que l’applicationνeune mesure surA, absolument continue par rapport `a la mesure µ.

Dans l’exercice suivant, on note (f ·µ) la mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef.

E

^{xercice 9. (Exercice  dans L} : cas particulier du th´eor`eme de Dunford-Pettis) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. On suppose queA=σ(C), o `uC eune classe d´enombrableable par interseion finie contenantX.

. Montrer que c’ele cas lorsqueXeun espace m´etrique s´eparable muni de sa tribu bor´elienne.

Soit (f_n)_n≥une suite born´ee deL^(X,A, µ) (c`ad la suite (kf<sub>n</sub>k<sub></sub>)<sub>n</sub>≥eborn´ee) telle que la suite de mesures (|f<sub>n</sub>|·µ)<sub>n</sub>≥eabsolument ´equicontinue par rapport `aµ(voir l’exercice pr´ec´edent pour une d´efinition).



. Montrer qu’il exie une sous-suite (f_φ(n))_n≥ telle que les deux suites de mesures d´efinies par ν^±:=f_n^±·µv´erifient : pour toutC∈ C, lim_nν_φ(n)^± (C) exient dansR.

. Montrer qu’il exief ∈L^(X,A, µ) v´erifiant pour toutA∈ A: lim

n→∞

Z

A

f_φ(n)dµ= Z

A

f dµ.

. En d´eduire laconvergence faibledef_φ(n)versf :∀g∈L^∞(X,A, µ), lim

n→∞

Z

X

f_φ(n)gdµ= Z

X

f gdµ.

. Une suite (fn)_n≥qui converge faiblement au sens de. (mais pour la suite elle-mˆeme) converge- t-elle n´ecessairementµ-p.p. ou en normek · k_versf ? Comparer avec l’exercicedu TD.

Fin

