1 – Th´eor`eme de Radon–Nikodym

Int´egration et probabilit´es

ENS Paris, 2013-2014

Exercices additionels : Radon–Nikodym et mesures – Corrig´e

1 – Th´eor`eme de Radon–Nikodym

E

^{xercice 1.} (Contre-Exemple `a R-N)Soitmla mesure de comptage sur (R,P(R)) c’e-`a-dire quem(A) =

#Apour toute partieAdeR. On notem_la reriion dem `a la tribu bor´elienne deR.

. Montrer que la mesure de Lebesgue eabsolument continue par rapport `am_.

. Montrer qu’il n’exie pas de fonion mesurablef :R→R₊telle queλ=f ·m_, o `uλd´esigne la mesure de Lebesgue.

. Conclure quelque chose d’intelligent et intelligible.

Corrig´e :

. SoitA∈ B(R) telle quem_(A) =. AlorsA=∅et doncλ(A) =.

. Supposons qu’il exie une telle fonionf. Alors pour toutx∈R, on a

=λ({x}) = Z

{x}

f dm_=f(x).

Ainsif =puisλ=. Contradiion.

. La mesureµ_n’epasσ-finie et le th´eor`eme de Radon-Nikodym ne s’applique pas.

E

^{xercice 2.} (Quantification de l’absolue continuit´e)Soient µetν deux mesures sur un espace mesu- rable (E,A).

. On suppose que pour toutε >, il exieη >tel que pour toutA∈ A, µ(A)≤η ⇒ ν(A)≤ε.

Montrer queνeabsolument continue par rapport `aµ.

. Montrer que la r´eciproque evraie dans le cas o `u la mesureν efinie.Que se passe-t-il siν e infinie ?

Corrig´e :

. SoitA∈ Atel queµ(A) =. Alors pour toutε >on aν(A)≤εc’e-`a-direν(A) =.

Pour des queions, demande de pr´ecisions ou explications, n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail `a [email protected] , ou bien `a venir me voir au bureau V.



. On suppose que l’assertion n’e pas v´erifi´ee. Soient ε >  et une suite (A_n)_n≥ tels que, pour toutn ≥,µ(A_n)≤⁻ⁿ etν(A_n) ≥ε. NotonsB_n =∪_k≥nA_k pour toutn ≥etB=∩_n≥B_n. Alors d’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, on aµ(B) =, puisν(B) =. Par ailleurs, pour toutn≥, on a ν(B_n)≥ν(A_n)≥ε. Et la suite (B_n)_n≥ed´ecroissante pour l’inclusion. La mesureν ´etant finie, on en d´eduit que

ν(B) = lim

n→∞ν(B_n)≥ε, ce qui econtradioire.

ATTENTION :on ne peut pas dire queµa une densit´e par rapport `aν: les mesures n’´etant pas n´ecessairement sigma-finies, on ne peut pas utiliser le th´eor`eme de Radon-Nikodym.

Lorsqueν=∞, il efacile de conruire un contre-exemple (par exemple prendreµetνsurR, µabsolument continue par rapport `aνavec une densit´e non int´egrable, par exemplex→e^x).

2 – Mesures

E

^{xercice 3.} (Le retour du diable)On conruit r´ecursivement une suite (fn)_n≥de fonions continues sur [,] telles quef() =etf() =comme suit. On posef_(x) =xpourx∈[,]. On conruitf_n+

`a partir de f<sub>n</sub> en remplac¸antf<sub>n</sub>, sur chaque intervalle maximal [u, v] o `u elle n’epas conante, par la fonion lin´eaire par morceaux qui vaut (fn(u) +f_n(v))/surh_u

 +^v_,^v_ +^u_i .

. Verifier que|f_n+(x)−f_n(x)| ≤⁻ⁿ pour tout n≥etx ∈[,]. En d´eduire que f_n converge uni- form´ement sur [,] vers une fonion continue not´eef_diable.

. Soitµ_diable la mesure sur [,] d´efinie comme ´etant la mesure de Stieljes associ´ee `af<sub>diable</sub>. Mon- trer queµ<sub>diable</sub>e ´etrang`ere par rapport `a la mesure de Lebesgue. La mesureµ_diable a-t-elle des atomes ?

Corrig´e :

. On prouve ais´ement que|f_n+(x)−f_n(x)| ≤⁻ⁿpour toutn≥etx∈[,] en utilisant la d´efinition de f_n. Il s’ensuit que la s´erie de fonions P

n≥(f_n+−f_n) converge uniform´ement sur [,] vers une fonion continue, et le r´esultat en d´ecoule. On appellef l’escalier du diable (cf TD) :

. Rappelons la conruion de l’ensemble triadique de Cantor. On poseK_= [,]. On d´efinit une suite (K_n, n≥) de la fac¸on suivante : connaissantK_n, qui eune r´eunion d’intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitK_n+en retirant dans chacun des intervalles deK_nun intervalle ouvert centr´e



au centre de chaque intervalle, de longueur /fois celle de l’intervalle. On poseK =T

n≥K_n, appel´e ensemble triadique de Cantor. Par conruion, le support de la mesureµ_diable el’en- semble de Cantor triadique, qui ede mesure de Lebesgue nulle (voir exercicedu TD). Ainsi µ_diable et la mesure de Lebesgue sont ´etrang`eres. Cependant,µ_diablen’a pas d’atomes, car la fonc- tion croissantef_diableecontinue.

E

^{xercice 4. (L’espaceM(R))}

(i) Montrer queM(R) l’espace des mesures bor´eliennes sign´ees surReun espace de Banach pour la norme

µ7→ kµk, o `ukµk=|µ|(R).

(ii) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. Montrer que pour toutf ∈L^(X,A, µ) : kfk_=kf ·µk,

o `u (f ·µ) ela mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef. Corrig´e :

(i) Soit (µ_n)_n≥une suite de Cauchy pour la normek · k.

´Etape:pour tout bor´elienAdeRetn, p≥, on a|µ_n(A)−µ_p(A)| ≤ kµ_n−µ_pk, ce qui implique que la suite (µ_n(A))_n≥ede Cauchy dansR, et converge donc vers une limite not´eeµ(A).

´Etape:montrons queµeune mesure. Prouvons tout d’abord que :

nlim→∞sup{|µ(A)−µ_n(A)|;A∈ B(R)}=. () A cet e` ffet, soient > etn_ > tels quekµ_n−µ_kk ≤pourn, k ≥n_. Soit A∈ B(R). On choisit k > n_tel que|µ(A)−µ_k(A)|< . Alors pourn > n_:

|µ(A)−µ_n(A)| ≤ |µ(A)−µ_k(A)|+|µ_k(A)−µ_n(A)| ≤+kµ_n−µ_kk ≤, ce qui prouve ().

Ensuite, les mesuresµ_n sont en particulier finiment additives, ce qui implique ais´ement queµ efiniment additive. Montrons maintenant queµeσ-finie. Soient (A_i)_i≥des bor´eliens disjoints et >. D’apr`es (), il exien_>tel que pourn≥n_:

sup{|µ(A)−µ_n(A)|;A∈ B(R)} ≤. On choisit ensuitek_>tel que pour toutk≥k_:

µ_n







 [

i≥k+

A_i









≤.

En particulier, ceci implique que pourk≥k_:

µ







 [

i≥k+

A_i









≤.



Par additivit´e (finie) deµ, on obtient finalement pour toutk≥k_:

µ







 [

i≥

A_i









− Xk

i=

µ(A_i)

=µ







 [

i≥k+

A_i









≤.

Ceci ´etant vrai pour tout > , la σ-additivit´e de µ en d´ecoule, ce qui prouve que µ e une mesure.

´Etape:on v´erifie que|µ_n−µ| →. Ceci d´ecoule imm´ediatement de () et de l’in´egalit´e kνk=ν(X⁺) +|ν(X⁻)| ≤sup{|ν(A)|;A∈ B(R)}

v´erifi´ee pour une mesure sign´eeνsurR(o `u on a not´eX^±les supports deν^±).

(ii) Il suffit de remarquer que l’´ecrituref ·µ=f⁺·µ−f⁻·µela d´ecomposition de Hahn def ·µ, ce qui implique :

kf ·µk= Z

f⁺dµ+ Z

f⁻dµ=kfk_.

3 – Dualit´e L

^p

− L

^q

On rappelle le r´esultat suivant, appel´e dualit´e L^p−L^q. Soit ν une mesure σ-finie sur (E,A), soit p∈[,∞[ et soitql’exposant conjug´e dep. Alors, siΦ eune forme lin´eaire continue surL^p(E,A, ν), il exie une unique applicationg∈L^q(E,A, ν) telle que pour toutf ∈L^p(E,A, ν),Φ(f) =R

f gdν. De plus la norme d’op´erateur deΦ ekΦk=kgk_q.

E

^{xercice 5.} (S´equentielle compacit´e faible) Soitp∈],∞[ etqson exposant conjugu´e,Ω⊂Run ouvert de Retµla mesure de Lebesgue. Soit (f_n) une suite born´ee deL^p(Ω) (c-`a-dque la suite (kf_nk_p)_n≥ e born´ee).

. Montrer queL^q(Ω) es´eparable (c’e`a dire qu’il contient une partie d´enombrable dense).

. SoitD une partie d´enombrable dense deL^q(Ω). Montrer qu’il exie une sous-suite (f_ϕ(n)) telle que pour touth∈D,

nlim→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)hdµexie dansR.

. Montrer que pour toutg∈L^q(Ω), φ(g) = lim

n→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)gdµexie dansR.

. En d´eduire qu’il exief ∈L^p(Ω) telle que l’on aitconvergence faibledansL^p(Ω) de la suite (f_ϕ(n)) versf, c’e-`a-dire :

∀g∈L^q(Ω), lim

n→∞

Z

Ω

f_ϕ(n)gdµ= Z

Ω

f gdµ.

. Le r´esultat pr´ec´edent subsie-t-il pourp=? Corrig´e :

. On sait d´eja que les fonions en escalier sont denses dans L^q, il suffit donc d’en trouver une sous famille d´enombrable qui soit dense dans les fonions en escalier. Par exemple, celles qui v´erifient : ”les intervalles ]x_i, x_i+[ sur lesquelles la fonion econantes sont `a bornes ration- nelles, et les valeursα_ide la fonion sur ces intervalles sont aussi rationnelles” conituent bien une famille d´enombrable.



. Il s’agit d’un simple proc´ed´e diagonal : on commence par num´eroter tous les fonions de D : h_, h_, . . .. Consid´eronsh_, par H¨older, la suiteR

f_nh_dµ

n eborn´ee parkh_k_qsup_nkf_nk_p, donc comme il s’agit d’une suite de r´eels, on peut trouver une extrarice ψ_ telle que R

f_ψ(n)h_dµ converge. Ensuite en consid´erant la suiteR

f_ψ(n)h_dµ

non conruit une extrariceψ_telle que Rf_ψ◦ψ_(n)h_dµ converge, et par r´ecurrence on conruit une suite d’extrarice (ψk)_k qui v´erifie que pour toutk

Z

f_ψ◦···◦ψ_k(n)h_kdµ converge quandn→ ∞.

Si la famille (h_k) ´etait finie, il suffirait de prendreψ_◦ · · · ◦ψ_N et on aurait ce qu’il faut, mais avec une famille infinie il faut ruser. On d´efinit ϕ(n) =ψ_◦ · · · ◦ψ_n(n). Je laisse au leeur le soin de v´erifier que pour toutn > k, il exieM ≥ntel queϕ(m) =ψ_◦ · · · ◦ψ_k(M) et d’en d´eduire que Rf_ϕ(n)h_kdµconverge quandn→ ∞pour toutk.

. Le plus simple pour montrer que la suiteR

f_ϕ(n)gdµconverge ede montrer qu’elle ede Cauchy.

Soitε >, et soithune fonion deD qui v´erifiekg−hk

q< ε. Soientn, m≥,

Z

f_ϕ(n)gdµ− Z

f_ϕ(m)gdµ

<

Z

f_ϕ(n)(g−h)dµ

+ Z

f_ϕ(m)(g−h)dµ

+ Z

f_ϕ(n)hdµ− Z

f_ϕ(m)hdµ .

Par H¨older les deux premiers termes sont inf´erieurs `a (supkf_nk_p)ε et comme la suiteR

f_ϕ(n)hdµ converge (par la queion pr´ec´edente) elle ede Cauchy, donc il exien_tel que sin, m > n_,

Z

f_ϕ(n)gdµ− Z

f_ϕ(m)gdµ

<(supkf_nk_p+)ε, ce qui montre que la suite ede Cauchy.

. `A la queion pr´ec´edente on a d´efinie une fonion deL^qdansR: φ(g) = lim

n→∞

Z

f_ϕ(n)gdµ.

Ici on veut utiliser le th´eor`eme de dualit´e entre L^p etL^q : siµ eσ-finie etp < ∞alors il y a bijeion entreL^q(µ) et les formes lin´eaires continues surL^p(µ) et cette bijeion ef 7→ψ_f :g7→

Rf gdµ. Donc pour r´epondre `a la queion il suffit de montrer queφeune forme lin´eaire conti- nue. La lin´earit´e efacile `a montrer et la continuit´e d´ecoule de H¨older :φ(g)≤(supkf_nk_p)kgk_q. Et voila !

. Non, le r´esultat n’eplus vrai pourp=: prenons la suite de fonionf_n =1[n,n+] qui ebien born´ee dansL^, et supposons qu’il exie une extrariceϕ et une fonionf ∈L^telle que pour toute foniong∈L^∞, limR

f_ϕ(n)gdµ=R

f gdµ. Regardons des fonions particuli`eres :

— la fonionsg=1^Rmontre queR

Rf dµ=

— la suite de foniong_k=1_[k,k+]montre queR_k+

k f dµ=pour toutk Ces deux r´esultats sont contradioires, ce qui conclut la preuve par l’absurde.

E

^{xercice 6.} (Petit contre-exemple) Soient E ={a, b} etµ la mesure d´efinie sur P(E) par µ({a}) = et µ({b}) =µ(E) = +∞. Cara´eriserL^∞(µ) et le dual topologique deL^(µ). Conclure.

Corrig´e :



On a L^∞ ={f :E →R} etL^ ={f :E →R| f(b) = }. Donc le dual topologique deL^ e(L^)⁰ = {f ∈L^7→αf(a) :α∈R}. On voit ici que l’applicationg∈L^∞7→Φ_g ∈(L^)⁰ (o `uΦ_g :f ∈L^7→R

Ef g dµ) esurjeive mais pas injeive. La mesureµ n’epasσ-finie et le th´eor`eme de dualit´e (avec p=et

q= +∞) ne s’applique pas dans ce cas.

4 – Pour pr´eparer le partiel `a venir

Chercher des exercices des partiels des ann´ees pr´ec´edents (les ´enonc´es sur disponibles sur le site d’enseignement du DMA –http://www.math.ens.fr/enseignement– partieArchives p´edagogiques, puisAnnales d’examens).

 – Compl´ements (hors TD)

E

^{xercice 7.} (Fonions `a variation finie) Soit une fonionf : [a, b]→R.

. Montrer que les conditions suivantes sont ´equivalentes :

(i) f s’´ecrit comme une diff´erence de deux fonions croissantes continues `a droite.

(ii) Il exie une mesure sign´eeµsur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].

(iii) f econtinue `a droite et `a variation born´ee c’e-`a-dire quef v´erifie la condition suivante sup

n≥,a≤a_<...<a_n≤b n−

X

i=

|f(a_i+)−f(a_i)|<∞.

. Donner un exemple de fonion continue [,]7−→Rqui ne soit pas `a variation finie.

Corrig´e :

(i)⇒(ii) : On suppose quef =g−h+f(a) avecgethcroissantes, continues `a droite etg(a) =h(a) =. Soitν<sub>g</sub> (resp.ν<sub>h</sub>) la mesure de Stieljes associ´ee `ag(resp.h). Posons

µ=ν_g−ν_h+f(a)δ_a.

Alorsµeune mesure sign´ee sur [a, b] telle quef(x) =µ([a, x]) pour toutx∈[a, b].

(ii)⇒(iii) : Il e´evident quef econtinue `a droite. Soientn≥eta_, . . . , a_nv´erifianta≤a_< . . . <

a_n≤b. Alors

n−

X

i=

|f(a_i)−f(a_i−)|=

n−

X

i=

|µ(]a_i−, a_i])| ≤

n−

X

i=

|µ|(]a_i−, a_i])≤ |µ|([a, b]).

Doncf e`a variation born´ee.

(iii)⇒(i) : Pour toutx∈[a, b], posons

V(x) = sup

n≥,a≤a_<...<a_n≤x n−

X

i=

|f(a_i+)−f(a_i)|.

AlorsV ecroissante. On peut donc d´efinir pour toutx∈[a, b], g(x) = lim

y↓xV(y).



Ainsi,gecroissante et continue `a droite. Posonsh=g−f. Alorshecontinue `a droite. Montrons quehecroissante. Soienta≤x < y≤betε >. Pour tousn≥eta≤a_< . . . < a_n≤x, on a

V(y+ε)−f(y+ε) ≥ |f(y+ε)−f(x)|+

n−

X

i=

|f(a_i+)−f(a_i)|+|f(x)−f(a_n)| −f(y+ε)

≥

n−

X

i=

|f(a_i+)−f(a_i)|+|f(x)−f(a_n)| −f(x)

≥ V(x)−f(x).

Donc,h(y+ε)≥h(x) puis en faisant tendreεverson obtienth(y)≥h(x).

.La fonionf :x∈],]7→xcos(/x), prolong´ee par continuit´e enn’epas `a variation born´ee : consid´erer la subdivision

< 

nπ < ... < 

π< 

π<  π<.

E

^{xercice 8.} (Th´eor`eme de Vitali-Saks)Soit (X,A, µ) un espace mesur´e. Une famille (ν<sub>i</sub>)<sub>i</sub>∈I de mesures surAediteabsolument ´equicontinuepar rapport `a la mesureµsi :











∀ >,∃A∈ A, µ(A)<+∞et∀i∈I, ν_i(A^c)< ,

∀ >,∃δ >,∀A∈ A, µ(A)< δ=⇒ ∀i∈I, ν_i(A)<

On suppose que A=σ(C), o `u C eune classeable par interseion finie contenantX. Le but ede prouver le r´esultat suivant

Th´eor`eme de Vitali-Saks.Soit (ν<sub>n</sub>)<sub>n</sub>≥une suite de mesures finies surA, absolument ´equicontinue par rapport `a µet telle que pour toutC ∈ C, lim_nν_n(C) exie dans R₊. Alors pour toutA∈ A,ν(A) = lim_nν_n(A) exie dansR₊etνd´efinit une mesure absolument continue par rapport `aµ.

. SoitB={A∈ A;ν(A) = lim_nν_n(A) exie dansR₊}. Montrer queBe able par diff´erence propre (c-`a-d siA, B∈ BavecA⊂B, alorsB\A∈ B).

. Soient (B_k)_k≥une suite d’´el´ements deux `a deux disjoints deBetBleur r´eunion. Montrer que

nlim→∞ν_n(B) =X

k≥

nlim→∞ν_n(B_k).

. En d´eduire queB=A.

. Montrer que l’applicationνeune mesure surA, absolument continue par rapport `a la mesure µ.

Corrig´e :

(ou plutˆot ´ebauche de corrig´e)

. Pas de difficult´e.

. D’abord voir queX

k≥

nlim→∞ν_n(B_k)≤lim inf

n→∞ ν_n(B) en utilisant le lemme de Fatou (pour la mesure de comptage). Pour prouver que lim sup

n→∞

ν_n(B)≤X

k≥

nlim→∞ν_n(B_k), ´ecrire pour tout >etn, k≥:

ν_n(B)≤ Xk

j=

ν_n(B_j) +ν_n











A∩\

j>k

B_j











+ν_n(A^c∩B),

et utiliser le fait queµ

A∩T

j>kB_j

→lorsquek→ ∞.



. On voit queBeune classe monotone (on utilise ici l’hypoth`eseX∈ C), ce qui fournit le r´esultat d´esir´e en utilisant le lemme de la classe monotone.

. Pas de difficult´e en utilisant l’´equicontinuit´e.

Dans l’exercice suivant, on note (f ·µ) la mesure absolument continue par rapport `aµde densit´ef.

E

^{xercice 9. (Exercice  dans L} : cas particulier du th´eor`eme de Dunford-Pettis) Soit (X,A, µ) un espace mesur´e fini. On suppose queA=σ(C), o `uC eune classe d´enombrableable par interseion finie contenantX.

. Montrer que c’ele cas lorsqueXeun espace m´etrique s´eparable muni de sa tribu bor´elienne.

Soit (f_n)_n≥une suite born´ee deL^(X,A, µ) (c`ad la suite (kf<sub>n</sub>k<sub></sub>)<sub>n</sub>≥eborn´ee) telle que la suite de mesures (|f<sub>n</sub>|·µ)<sub>n</sub>≥eabsolument ´equicontinue par rapport `aµ(voir l’exercice pr´ec´edent pour une d´efinition).

. Montrer qu’il exie une sous-suite (fφ(n))_n≥ telle que les deux suites de mesures d´efinies par ν^±:=f_n^±·µv´erifient : pour toutC∈ C, lim_nν_φ(n)^± (C) exient dansR.

. Montrer qu’il exief ∈L^(X,A, µ) v´erifiant pour toutA∈ A: lim

n→∞

Z

A

f_φ(n)dµ= Z

A

f dµ.

. En d´eduire laconvergence faibledef_φ(n)versf :∀g∈L^∞(X,A, µ), lim

n→∞

Z

X

f_φ(n)gdµ= Z

X

f gdµ.

. Une suite (fn)_n≥qui converge faiblement au sens de. (mais pour la suite elle-mˆeme) converge- t-elle n´ecessairementµ-p.p. ou en normek · k_versf ? Comparer avec l’exercicedu TD. Corrig´e :

(ou plutˆot ´ebauche de corrig´e)

. PrendreU = (U_n)_n≥ une base d´enombrable d’ouverts deX avecU_:=X, puis choisirCcomme

´etant compos´ee par les interseions finies d’´el´ements deU.

. Pour toutC∈ C, les suites (ν_n^±(C))_n≥sont born´ees, donc admettent une valeur d’adh´erence. Uti- liser ensuite le proc´ed´e d’extraion diagonal et la d´enombrabilit´e deC.

. Appliquer l’exercice pr´ec´edent aux suites de mesures (νn^±)_n≥, puis le th´eor`eme de Radon-Nikodym

`a leur limite (juifier qu’on peut l’appliquer !)

. Sig∈L^∞(X,A, µ), voir que pour tout >, il exie une fonion ´etag´eegtelle quekg−gk_∞< .

. Consid´erer la suite d´efinie sur [,] parf_n(x) = sin(nx).

Fin

