Th´eor`eme de Sylow

Th´eor`eme de Sylow

LauraGay

R´ef´erence :Perrin: Cours d’alg`ebre p. 18

Contexte : SoitGun groupe d’ordren=p^αm, o`upest un nombre premier,n∈Net p-m.

On se servira souvent du fait queS est unp-Sylow de G⇔S est unp-groupe et [G:S] est premier `a p.

Lemme 1

GLn(Fp) a unp-Sylow.

Preuve du Lemme 1 :

D´ej`a,|GL_n(Fp)|= (pⁿ−1)(pⁿ−p)· · ·(pⁿ−pⁿ⁻¹) = ¹(pⁿ−1)(pⁿ⁻¹−1)· · ·(p−1)

| {z }

m

p^n(n−1)2 o`up-m.

SoitP l’ensemble des matrices triangulaires sup´erieures strictes :

P :={A= (aij)/ aij = 0 sii > j et aii = 1}

Pouri < j, lesa_ij sont quelconques² donc|P|=p.p².· · · .pⁿ⁻¹=p^n(n−1)2 .

Ainsi,P est unp- Sylow deGL_n(Fp).

Lemme 2

Soient H < G,S p-Sylow deG, alors∃a∈Gtel que aSa⁻¹∩H soit unp-Sylow deH.

Preuve du Lemme 2 :

Gagit par translation `a gauche sur ^G

/

S³ (on multiplie `a gauche).

Le stabilisateur deaS estaSa⁻¹ (se montre par double inclusion). Mais commeH op`ere lui aussi sur ^G

/

S par restriction, pour cette action restreinte, le stabilisateur deaS est aSa⁻¹∩H.

Il reste `a voir que l’un de ces sous-groupes est un Sylow deH.aSa⁻¹∩H est un sous-groupe deaSa⁻¹car cette intersection est non vide (neutre). Donc

Sa⁻¹∩H divise

aSa⁻¹

=|S|=p^αdoncSa⁻¹∩H est unp-groupes.

On veut donc montrer que, pour una∈G,

H

/

(aSa⁻¹∩H)

est premier `ap.

La formule des classes donne

H

/

(aSa⁻¹∩H)

= |H|

|aSa⁻¹∩H| =|orbite deaS pour l’action de H|. Or : G

/

S =[

(orbite deaS pour l’action deH) Supposons par l’absurde que∀a∈G, p|

H

/

(aSa⁻¹∩H)

. Alors p|

G

/

S

. Absurde carS est un p-Sylow de G. Donc∃a∈Gtel queaSa⁻¹∩H soit unp-Sylow deH. Lemme 3

SoitS unp-groupe op´erant sur un ensembleX. Alors|X| ≡ X^S

[p].

Preuve du Lemme 3 : On noteω pour l’orbite.

1. On a

n−1

Y

i=0

(pⁿ−pⁱ) =

n−1

Y

i=0

pⁱ(pⁿ⁻ⁱ−1) = (pⁿ−1)· · ·(p−1)

n−1

Y

i=0

pⁱ= (pⁿ−1)· · ·(p−1)p^Pn−1i=0i= (pⁿ−1)· · ·(p−1)p^n(n−1)2

2. Premi`ere ligne : 0 case, Deuxi`eme ligne : 1 case, ...,n-i`eme ligne :n−1 cases

3. Attention,Sn’est pas forc´ement distingu´e, doncG/Sn’est pas n´ecessairement un groupe. Cela d´esigne simplement l’ensemble des classes `a gauche moduloS.

1

Six∈X^S, ω(x) ={x}car c’est un point fixe.

Six /∈X^S, |ω(x)|>1 et comme|ω(x)| | |S|,p| |ω(x)|.

On a, commeX peut s’´ecrire comme partition disjointe de ses classes (orbites) :

|X|= X

x∈X^G

|ω(x)|

| {z }

|X^G|

+ X

x /∈X^G

|ω(x)|

| {z }

divisible parp

D’o`u le r´esultat.

Th´eor`eme (Sylow-1872)

1. Il existe unp-Sylow dansG.

2. SiH est unp-sous-groupe deG, il est contenu dans unp-SylowS.

3. Lesp-Sylow deGsont tous conjugu´es entre eux. (i.e. siH et Ksont deuxp-Sylow deG, alors il existe un ´el´ementg dansGv´erifiantgHg⁻¹=K)

4. SiS est unp-Sylow deG, on a,SCG⇔n_p= 1.

5. Soitn_p le nombre de p-Sylow deG. Alorsn_p≡1 [p] et donc n_p|m.

Preuve du Th´eor`eme :

1. Comme|G|=n, on plongeGdansSn. Puis on plongeSn dansGLn(F^p) par u: Sn −→ GL_n(Fp)

σ 7−→ u_σ o`uu_σ(e_i) =e_σ(i), (e_i)_i base canonique

Ainsi, on r´ealiseGcomme sous-groupe de GL_n(Fp). Ce dernier a unp-Sylow (Lemme 1) doncGaussi (Lemme 2).

2. SoitH unp-sous-groupe deGetS unp-Sylow deG(possible car on a montr´e en 1. l’existence). Il existe, par le Lemme 2, a∈G tel que aSa⁻¹∩H soit unp-Sylow de H. Or, commeH est un p-groupe (son cardinal est un p^β) donc unp-Sylow c’est forc´ement toutH ieaSa⁻¹∩H=H ieH ⊂aSa⁻¹, ce dernier

´

etant un p-Sylow.

3. Si de plusH est un Sylow, on a exactementH =aSa⁻¹ ie les Sylow sont tous conjugu´es.

4. Comme ils sont tous conjugu´es et queS est distingu´e Ok...

5. On fait op´erer Gpar conjugaison sur l’ensembleX de ses p-Sylow. SoitS unp-Sylow, S op`ere lui aussi surX et leLemme 3donne|X|=n_p≡

X^S [p].

Il reste `a voir que X^S

= 1.

D´ej`a, sis∈S, on a clairementsSs⁻¹=S doncS∈X^S. Il faut montrer que c’est le seul.

SoitT un autrep-Sylow. On suppose queT ∈X^S ie∀s∈S, sT s⁻1 =T.

SoitNle sous-groupe deGengendr´e parSetT.SetT sont a fortiori desp-Sylow deN(s’´ecrit facilement).

Mais par construction deN et deT ∈X^S on aTCN et le 3. donne queT est l’unique p-Sylow deN ie T =S. Doncnp≡1 [p].

Commenp| |G|etnp∧p= 1 on a (th´eor`eme de Gauss)np|m.

Application

[Ulmer p.88] Un groupe d’ordre 15 est toujours cyclique et isomorphe `aZ/15Z. En effet, par le th´eor`eme on a n5|3 et n5≡1 [5]. Doncn5= 1. De mˆeme, on an3 = 1. NotonsPi lei-Sylow qui est distingu´e dans G. On a

|Pi|=ipremier donc lesPisont cycliques. etG∼= ⁴P3×P5∼=Z/3Z×Z/5Z∼=Z/15Zpar le th´eor`eme chinois.

4. C’est un th´eor`eme car ils sont distingu´es etGest fini.

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Notes :

XA l’oral, bla

X Rappel (d´efinition d’unp-groupe) : Soit p un nombre premier. On appelle p-groupe un groupe dont tout

´

el´ement a pour ordre une puissance dep.

XRappel (d´efinition d’unp-Sylow) : Soitpun nombre premier etGun groupe fini ; on d´efinit unp-sous-groupe de Sylow (ou p-Sylow) de G comme un ´el´ement maximal de l’ensemble des p-sous-groupes de G, au sens de l’inclusion. Autrement dit, c’est un p-sous-groupe deG qui n’est contenu dans aucun autre p-sous-groupe de G. Toutp-sous-groupe de Gest inclus dans un p-sous-groupe maximal, ce qui garantit l’existence dep-Sylow.

L’ensemble (non vide, donc) de tous lesp-Sylow pour un entier premierpdonn´e est parfois not´e Syl_pG.

♣LudwigSylow(1832- 1918) est un math´ematicien norv´egien. Il ´etudia la th´eorie des groupes. Conjointement avecLie, il travailla sur les travaux d’Abelentre 1873 et 1881.

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