UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE. Ann´ee 2008-2009.
LM 370. Examen (2 juin 2009).
La concision et la clart´e seront des facteurs d’appr´eciation.
Les documents, livres, notes, cours polycopi´es, les calculatrices et les t´el´ephones portables sont interdits.
Exercice 1.
1) Enoncez le th´eor`eme de Sylow.
2) Montrez que les sous-groupes de Sylow d’un groupe G de cardinal 45 sont distingu´es.
3) SoientH3 etH5 les sous-groupes de Sylow de G, expliquez pourquoi H3∩H5 ={e}.
4) Montrez que l’homomorphisme naturel (de groupes) G → G/H3 ×G/H5 est un isomor- phisme.
5) En d´eduire que G est commutatif.
6) D´ecrire tous les groupes commutatifs de cardinal 45 (`a isomorphisme pr`es).
Exercice 2.
Soient a, b ∈ C des nombres complexes. On consid`ere dans l’anneau R =C[X], la partie S form´ee des polynˆomes P tels que P(a)P(b)6= 0.
1) Montrer que la partieS est multiplicativement stable.
On consid`ere l’anneau de fractionS−1R ={P/Q, P, Q∈R, Q ∈S}et le corps des fractions K deR (et donc deS−1R).
2) D´ecrivez le groupe U(S−1R) des unit´es (des ´el´ements inversibles) de l’anneau S−1R.
3) Montrez que tout ´el´ement x6= 0∈S−1R s’´ecrit, de fa¸con unique,x= (X−a)n(X−b)mu, avecm, n≥0∈Zet u∈U(S−1R). On pose alorsf(x) = (n, m)∈Z2.
4) Montrez que si x, y 6= 0∈S−1R, on a f(xy) =f(x) +f(y)∈Z2.
5) Montrez que si a/b = a0/b0 ∈ K∗, o`u a, b, a0, b0 ∈ S−1R − {0}, alors f(a) − f(b) = f(a0)−f(b0).
6) Pour a/b ∈ K∗, on pose f(a/b) = f(a) −f(b). Montrez que f : K∗ → Z2 est un homomorphisme surjectif de groupes (attention K∗ est un groupe multiplicatif et Z2 est un groupe additif).
7) Montrez que le noyau def est le groupe U(S−1R).
8) Montrez qu’il existe un isomorphismeK∗/U(S−1R)'Z2. Exercice 3.
1) D´ecrivez tous les R[X]-modulesM de longueur 3, tels que (X2+ 2)(X−1)2M = 0.
2) Donnez dans chaque cas la dimension (le rang) commeR-espace vectoriel.
1
