Théorème de Sylow Arnaud

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Théorème de Sylow

Arnaud Girand 11 décembre 2011

Référence :

– [Per96] ; p. 18–20 Leçons :

– 101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

– 104 - Groupes finis. Exemples et applications.

– 110 - Nombres premiers. Applications.

Prérequis :

– formule des classes.

SoitGun groupe fini de cardinaln≥1. On suppose qu’il existe un nombre premierpet deux entiersα, m≥1 tels quen=p^αm, avecp∤m.

Lemme 1 Soit H ≤G.

Soit S unp–Sylow de G.

Alors il existe a∈Gtel queHa :=aSa⁻¹∩H soit un p–Sylow de H.

Démonstration : Gagit surG/S par translation à gauche et :

∀a, g∈G, g.(aS) =as⇔ ∀s∈S,∃s^′ ∈S, gas=as^′

⇔ ∀s∈S,∃s^′ ∈S, g=as^′s⁻¹a⁻¹

⇔g∈aSa⁻¹

On a donc∀a, g∈G,StabG(aS) =aSa⁻¹. OrHagit surG/Spar restriction etStabH(aS) = StabG(aS)∩H =Ha

est un sous–groupe de StabG(aS), d’où|Ha| | |aSa⁻¹|=|S|=p^α. De fait, par primalité,p| |Ha|.

Or|Ha|= |H|

(H :Ha) donc il nous suffit de trouvera∈Gtel que(H :Ha)∧p= 1.

Si on noteω(aS)l’orbite d’un élémentaS de G/S sous l’action de H, l’applicationg 7→g.aS et la propriété universelle du quotient nous indiquent que(H :Ha) =|H/Ha|=|ω(aS)|. De fait, sipdivisait tous les indices(H :Ha), on aurait par la formule des classes quepdivisem=|G/S|, ce qui est impossible, d’où le résultat.

Proposition 1 (Sylow)

On note cp≥0 le nombre de p–Sylow de G.

Alors :

(i) pour tout p–groupe H ≤G, il existe un p–Sylow de Gcontenant H (et donccp≥1) ; (ii) lesp–Sylow de Gsont tous conjugués (et donc cp|n), en particulier si S est un p–Sylow de

Get siS⊳Galors S est l’uniquep–Sylow de G; (iii) cp≡1[p] (et donccp|m).

Démonstration :

(i) On a l’injection suivante (où(e1, . . . , en)désigne la base canonique deFⁿ_p) :

S_n֒→GLn(Fp) σ7→(uσ:ei 7→eσ(i))

Ainsi, d’après le théorème de Cayley ( proposition 2 ) et la propriété universelle du quotient, on peut identifier G à un sous groupe de GLn(Fp). Or GLn(Fp) possède un p–Sylow (les

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matrices triangulaires supérieures "strictes", cf. infra) donc d’après le lemme 1,G aussi : notons leS.

Toujours d’après le lemme 1, comme H est un sous–groupe de G, il existe a ∈ G tel que Ha soit unp–Sylow deH. OrH est également unp–groupe et donc son uniquep–Sylow est lui–même, ergoHa=H, ce qui implique queH ⊂aSa⁻¹, qui est unp–Sylow¹.

(ii) On procède comme pour le point(i)en imposant àHd’être unp–Sylow. On obtient bien alors que pour toutp–SylowSdeG, il existea∈Gtel queH ⊂aSa⁻¹. Or|H|=p^α=|S|=|aSa⁻¹| doncH =aSa⁻¹ est conjugué àS.

(iii) Notons X l’ensemble des p–Sylow de G. On sait que G agit sur X par conjugaison et si S∈X, cette action en induit une deS surX. D’après le lemme 2 on a donc|X| ≡ |X^S|[p].

Il est de plus clair queS∈X^S.

SoitT ∈X^S, i.e ∀s∈S, sT s⁻¹=T. On considère le sous–groupeN deGengendré par S etT; alorsS ≤N et T ≤N sont deux p–Sylow deN. Cependant il est clair queT ⊳N et donc par le point(ii)T =S. In fineX^S ={S}et donc cp=|X| ≡1[p].

Détails supplémentaires :

– GLn(Fp) admet unp–Sylow (cf. [Per96], p.15). Commençons par remarquer que :

∀A∈ Mn(Fp), A∈GLn(Fp)⇔(Ae1, . . . , Aen)est une base deFⁿ_p

GLn(Fp) est de facto équipotent à l’ensemble des bases deFⁿ_p. Or pour se donner une telle base(a1, . . . , an), on dispose depⁿ−1choix poura1(on choisita1∈Fⁿ_p\ {0}, depⁿ−pchoix poura2 (on choisita2∈ ha/ 1i) et de manière générale depⁿ−pⁱ⁻¹choix pour ai, i∈[n] (on choisitai∈ ha/ 1, . . . , ai−1i). In fine :

|GLn(Fp)|=

nY−1

k=0

(pⁿ−p^k)

On a donc|GLn(Fp)|=pⁿ⁽ⁿ⁻^1)/2m, avecp∤m. On considère alors le sous–groupe deGLn(Fp) constitué des matrices triangulaires supérieures "strictes" :

P :={A∈GLn(Fp)| ∀i, j∈[n], ai,j= 0 sii > j, ai,i=n} ≤GLn(Fp)

Alors|P|=pⁿ⁽ⁿ⁻^1)/2 (on "choisit" exactement ⁿ⁽ⁿ₂⁻¹⁾ coefficients de chaque matrice) donc P est unp–Sylow deGLn(Fp).

– On trouve le résultat suivant dans [Per96], p.15 :

Proposition 2 (Cayley)

Soit Gun groupe fini de cardinaln≥1.

AlorsGest isomorphe à un sous–groupe deS_n.

Démonstration : G agit sur lui–même par translation à gauche donc il existe un morphisme de groupes deGdansS(G)∼=S_n. Ce morphisme est de plus injectif car sig, h∈G (∀x∈G, g.x=h.x)⇒(g=h). On conclut par propriété universelle du quotient.

– Le lemme suivant est démontré dans [Per96], p.17 :

Lemme 2

Soit Gunp–groupe.

Soit X unG–ensemble fini.

Alors :

|X| ≡ |X^G|[p]

Démonstration :D’après la formule des classes :

|X|=|X^G|+X

|ω(x)|

Où la somme compte une fois chaque orbite non triviale. De fait, chacun de ces |ω(x)| est strictement supérieur à1et divise|G|doncp||ω(x)|, d’où le résultat.

– Une application classique : il n’existe pas de groupe simple d’ordre 63. Soit G un groupe d’ordre63 = 3²×7. Alorsc7≡1[7]etc7|9doncc7= 1:Gadmet un unique7–Sylow qui est donc distingué.

1. La conjugaison conservant les cardinaux, le conjugué d’unp–Sylow est unp–Sylow deG.

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Références

[Per96] Daniel Perrin. Cours d’algèbre. Ellipses, 1996.

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