ÉCS2 Retour des variables discrètes... –
Une étude de la loi de Pascal
Au cours de ce T.D., nous retrouvons les variables discrètes, à travers l’étude d’une loi généralisant la loi géométrique : la loi de Pascal.
On dispose d’une pièce pour laquelle la probabilité d’obtenir PILE estp∈] 0 ; 1 [ et celle d’obtenir FACE est q = 1−p. On lance indéfiniment cette pièce et on s’intéresse au rang X d’apparition du premier PILE, puis au rang Z d’apparition du second PILE.
On note aussiY le nombre de lancers nécessaires à l’obtention du second PILE après avoir obtenu le premier PILE.
Enfin, on note, pour toutkde N,Fk (respectivement Pk) l’événement « lekème lancer donne FACE (respectivement PILE) ».
1. Quel nom porte un tel processus ?
Prenons un bon départ...
2. a)SiF1∩F2∩P3∩F4∩P5 se réalise, que valentX,Y etZ? b)Même question siP1∩P2∩F3 se réalise.
c)Quelle relation simple existe-t-il entreX,Y etZ? d)Que valentX(Ω),Y(Ω)etZ(Ω)?
Retour sur la loi géométrique
3. a)Exprimer les événements [X = 1], puis, pour k > 2, [X = k] à l’aide des événementsFi etPi.
b)En déduire la loi deX et vérifier que X
k∈X(Ω)
P(X =k) = 1.
c)Justifer que l’espéranceE(X) existe et la calculer.
La loi de Y par conditionnement
4. a)Soit k et j dans N∗. Exprimer l’événement [X = k]∩[Y = j] à l’aide des événementsFi etPi.
b)En déduireP[X=k](Y =j).
c)En déduire finalement la loi de Y. Est-ce une loi usuelle ? En route pour la loi de Pascal
5. a)Que valentP(Z = 2)etP(Z = 3)?
b)Soit k > 4. Décrire l’événement [Z = k] à l’aide d’une réunion de k−1 événements deux à deux incompatibles.
c)En déduire la loi deZ.
d)Montrer que Zadmet une espérance et la calculer.
e)Retrouver l’espérance de Zgrâce à 2.c).
Indépendance et somme
6. a)On dit que XetY sont indépendantes si :
∀(i, j)∈X(Ω)×Y(Ω), P([X =i]∩[Y =j]) =P(X =i)P(Y =j).
X etY sont-elles indépendantes ?
On dit que le schéma (ou processus) de Bernoulli est sans mémoire.
b)Justifier que :
∀k∈Z(Ω), P(Z =k) =
k−1
X
i=1
P([X =i]∩[Y =k−i]).
c)Retrouver alors le loi de Z.
Introduction aux espérances conditionnelles 7. Soiti∈X(Ω)etk∈Z(Ω).
a)Que vautP[X=i](Z =k)?On pensera à distingueri < k eti>k.
b)En déduire l’existence et la valeur de
E(Z|[X =i])déf.= X
k∈Z(Ω)
kP[X=i](Z =k)
appeléeespérance conditionnelle de Z sachant [X=i].
c)Pouvait-on s’attendre à ce queE(Z|[X =i]) =i+E(Y)? d)Justifier l’existence et calculer la valeur de
S = X
i∈X(Ω)
P(X =i)E(Z|[X =i]).
e)ComparerSà E(Z). Comment pourrait-on appeler cette dernière relation ?
Lycée HenriPoincaré 1/1 lo
