UNIVERSIT´E DE ROUEN
Maˆıtrise de math´ematiques Unit´e MM5/MIM1
Ann´ee 2000–2001
Examen du 3 septembre 2001 Dur´ee : 2 heures
Aucun document n’est autoris´e. Il sera tenu compte de la pr´ecision des raisonnements, ainsi que de la clart´e de la pr´esentation des calculs.
Exercice I
Soit Ω un ouvert born´e de Rn `a fronti`ere lipschitzienne. On munitH1(Ω) de la norme usuelle kukH1(Ω)=
Z
Ω
u2dx+
n
X
i=1
Z
Ω
∂u
∂xi
2dx12 .
On veut montrer que cette norme est ´equivalente `a la norme
|||u|||H1(Ω)= Z
∂Ω
u2dσ+
n
X
i=1
Z
Ω
∂u
∂xi
2dx12 ,
o`u σest la mesure de surface sur∂Ω.
1. Montrer qu’il existe une constantectelle que
∀u∈H1(Ω), |||u|||H1(Ω)≤ckukH1(Ω).
2. On prouve dans cette question l’in´egalit´e inverse, c’est-`a-dire qu’il existe une constante c1 telle que (1) ∀u∈H1(Ω), kukH1(Ω)≤c1|||u|||H1(Ω),
dans le cas particulier o`u n= 2 et Ω =]0,1[×]0,1[.
On utilisera le fait que dans ce cas
∀u∈ D(R2), Z
∂Ω
u2dσ= Z 1
0
|u(x,0)|2dx+ Z 1
0
|u(x,1)|2dx+ Z 1
0
|u(0, y)|2dy+ Z 1
0
|u(1, y)|2dy.
a) Montrer qu’il existe une constantec1telle que
∀u∈ D(R2), kukH1(Ω)≤c1|||u|||H1(Ω). b) En d´eduire l’in´egalit´e (1) (bien justifier!).
Exercice II On noteV l’ensemble des fonctions p´eriodiques
V ={v∈H1(]0,1[)|v(0) =v(1)}
(on rappelle que toute fonction deH1(]0,1[) s’identifie `a une fonction continue sur [0,1] de sorte que l’´ecriture pr´ec´edente a bien un sens et que l’application v 7→ (v(0), v(1)) est continue de H1(]0,1[) dans R2). Soit f ∈L2(]0,1[). On consid`ere le probl`eme variationnel suivant : trouveru∈V tel que
(PV)
Z 1 0
u0v0dx= Z 1
0
f v dx pour toutv∈V.
1. Montrer queV est un espace de Hilbert.
2. Le th´eor`eme de Lax-Milgram peut-il ˆetre appliqu´e ?
3. On suppose qu’il existe une solution de (PV). Montrer queR1
0 f dx= 0.
4. R´eciproquement, on suppose queR1
0 f dx= 0.
a. Montrer qu’il existe une solutionude (PV) telle queu(0) =u(1) = 0.
b. Montrer que (PV) admet alors une infinit´e de solutions et qu’elles sont de la formeu+ constante.
Exercice III
On consid`ere la matriceA=
1 1 0
1 2 −1
0 −1 2
.
1. Quelles m´ethodes it´eratives pourAconvergent ?
2. Ecrire une it´´ eration de chacune des m´ethodes pour r´esoudre le syst`emeAx=w.
