L3 - Physique-Chimie 8 septembre 2015 M´ ecanique quantique
TD n o 1 : 1 Relation de Planck-Einstein
1.1 Effet photo´ electrique
Introduction : L’´ etude de l’effet photo´ electrique, d´ ecouvert par Rudolf Hertz en 1887 et qui concerne l’´ emission d’´ electrons d’un m´ etal soumis ` a un rayonnement ultraviolet, a jou´ e un rˆ ole tr` es important dans l’´ emergence de la physique quantique. Lorsqu’on ´ eclaire un m´ etal avec un rayonnement monochromatique de pulsation ω on observe un effet de seuil :
• l’´ emission d’´ electrons n’a lieu que pour ω > ω s o` u ω s d´ epend du m´ etal. La caract´ eristique courant-tension d´ emarre ` a la
contre-tension
V 0 < 0, qui fournit une information sur l’´ energie cin´ etique maximale des ´ electrons ´ emis, E c max .
• Le point remarquable est que ω s et la contre tension –donc E c max – sont ind´ ependantes de l’intensit´ e lumineuse (alors que l’´ energie d´ epos´ ee dans le m´ etal est proportionnelle au carr´ e de l’intensit´ e de l’onde ´ electromagn´ etique).
• La contre-tension varie lin´ eairement avec la pulsation ω :
E c max = ~ (ω − ω s ) pour ω > ω s , (1) o` u la pente est universelle (ind´ ependant du m´ etal) : c’est la constante de Planck ~ .
I
V e−
métal
vide UV ω
V 0
V 0 UV : intensité 2 −
UV : intensité 1
ω
0 ω s
0 V
I
Figure 1 – Figure tir´ ee de : C. Texier, M´ ecanique quantique, 2nde ´ ed., Dunod, 2015.
L’interpr´ etation donn´ ee par Albert Einstein en 1905 de ce ph´ enom` ene est que la lumi` ere monochromatique ne peut ˆ etre absorb´ ee par le m´ etal que par quanta d’´ energie
E = ~ω (relation d’Einstein-Planck). (2)
Les quanta d’´ energie sont identifi´ es avec les particules ´ el´ ementaires m´ ediatrices de l’interaction
´
electromagn´ etique : les photons (la terminologie date de 1926 seulement). L’´ energie du photon est divis´ ee en une ´ energie minimum n´ ecessaire pour arracher un ´ electron du m´ etal, le
travail d’extraction
W = ~ ω s et l’´ energie cin´ etique de l’´ electron. Einstein ´ etablit ainsi une corres- pondance entre un concept mat´ eriel (l’´ energie d’une particule) et un concept ondulatoire (la pulsation).
1/ On donne ~ = 1.054 × 10 −34 S.I. Quelle est la dimension de ~ ? D´ eduire l’unit´ e. Calculer ~ c en eV.nm.
2/ Rappeler la relation de dispersion pour des ondes planes lumineuses dans le vide.
1
3/ Le travail d’extraction du cuivre est de W = 4.4 eV. Quelle est l’´ energie cin´ etique maximale des ´ electrons si un m´ etal est ´ eclair´ e avec de la lumi` ere monochromatique de longueur d’onde λ = 250 nm ? Quelle est la vitesse des ´ electrons associ´ ee ` a E c max ?
4/ Si nous attribuons l’´ energie E = 0 au vide (ext´ erieur du m´ etal), les ´ energies des ´ electrons de conduction de distribuent dans l’intervalle [−(ε F + W ), −W ]. Dans le fer le travail d’extraction est W = 4.31 eV et l’´ energie de Fermi ε F = 11.1 eV. Quelle est la longueur d’onde maximale du rayonnement permettant d’extraire les ´ electrons de plus haute ´ energie ? Et les ´ electrons de conduction de plus basse ´ energie ?
1.2 Mod` ele de Bohr pour l’atome d’hydrog` ene
En 1913, Niels Bohr a propos´ e un mod` ele permettant de rendre compte de l’existence des raies spectroscopiques : l’absorption de la lumi` ere par une vapeur atomique n’est possible que pour un ensemble de valeurs discr` etes de fr´ equences lumineuses.
L’interaction proton-´ electron est due ` a la force coulombienne F ~ Coul = − e 2
r 2 ~ u r o` u e 2
def= q e 2 4π 0
avec 1 4π 0
= 9 × 10 9 S.I. (3)
r est la distance ´ electron-proton et ~ u r un vecteur unitaire. Dans l’exercice on ne s’int´ eresse qu’aux trajectoires circulaires d´ ecrivant l’´ etat li´ e proton-´ electron (l’atome).
1/ En appliquant la relation fondamentale de la dynamique (m ~ r ¨ = F ~ Coul ), montrer que l’´ energie cin´ etique est E c = e 2 /(2r). D´ eduire l’´ energie m´ ecanique.
2/ Calculer e 2 en eV.nm. Sachant que l’´ electron est ` a distance r ∼ 0.5 ˚ A dans l’´ etat de plus basse ´ energie, estimer cette derni` ere (nous allons justifier qu’il existe une ´ energie minimale...).
3/ R` egle de quantification.– Bohr a postul´ e la quantification de l’action d’une trajectoire circulaire S = H
~
p · d~ r = 2nπ ~ o` u n ∈ N ∗ (i.e. seules sont autoris´ ees ces trajectoires). Appliquer cette r` egle aux orbites circulaires. D´ eduire que seules des valeurs discr` etes de l’´ energie de liaison sont autoris´ ees, not´ ees E n . Donner l’expression des rayons r n des trajectoires ` a ces ´ energies.
4/ Raies spectrales.– L’atome ne peut exister qu’aux ´ energies E n . ` A quelles pulsations la lumi` ere peut-elle ˆ etre absorb´ ee par l’atome ? Dessiner l’allure de la probabilit´ e d’absorption en fonction de la pulsation lorsque l’atome est dans son ´ etat de plus basse ´ energie. Calculer quelle est la plus grande longueur d’onde ` a laquelle la lumi` ere peut-ˆ etre absorb´ ee dans ce cas.
5/ Ions hydrog´ eno¨ ıdes.– Un ion hydrog´ eno¨ıde est obtenu en ionisant Z − 1 fois l’atome de num´ ero atomique Z . Donner les ´ energies E n Z et les rayons r Z n caract´ erisant les orbites de Bohr.
, Pour en savoir plus :
C. Aslangul,
M´ ecanique quantique
, t. 1, De Boeck, 2007 (effet photo´ electrique → chap. 5 ; atome de Bohr → chap. 6).
2 Exp´ erience d’Young avec des particules mat´ erielles
La dualit´ e des points de vue corpusculaire-ondulatoire ne s’applique pas seulement ` a la lumi` ere mais est de port´ ee tr` es g´ en´ erale. En 1924, Louis de Broglie sugg` ere d’attribuer une longueur d’onde λ = h/p, o` u h = 2π ~ , ` a une particule mat´ erielle d’impulsion p, ce que nous pr´ ef´ erons
´
ecrire en termes de grandeurs vectorielles :
~
p = ~ ~ k (relation de de Broglie) (4)
2
o` u ~ k est le vecteur d’onde de l’onde. Cette relation compl` ete donc la relation d’Einstein. Une v´ erification exp´ erimentale directe sera apport´ ee en 1927 par Davisson et Germer, qui observent la figure d’interf´ erences produite par une onde ´ electronique diffract´ ee par un r´ eseau cristallin (grˆ ace ` a un accident de laboratoire ( !)).
1/ Une exp´ erience d’interf´ erence d’Young a ´ et´ e r´ ealis´ ee avec une source de neutrons (figure). La vitesse des neutrons ´ etant v ' 200 m.s −1 , quelle est la longueur d’onde associ´ ee ` a cette source de neutrons ?
2/ Le mˆ eme groupe d’exp´ erimentateurs a ´ et´ e capable de r´ ealiser des interf´ erences avec une source de mol´ ecules de full´ er` ene C 60 ! Sachant que le noyau de carbone contient 12 nucl´ eons (6 protons et 6 neutrons), quelle est la masse d’une mol´ ecule de full´ er` ene ? Estimer sa taille (C 60 est form´ ee de 20 hexagones et 12 pentagones et la liaison entre carbones a une longueur moyenne a = 1.4 ˚ A ? Quelle est la longeur d’onde de l’onde de mol´ ecules de full´ er` enes de vitesse v ' 130 m.s −1 ?
m) (µ
# de neutrons (/125min.)
400 500 600 700 800 4000
3000
2000
1000
0
Position du détecteur
0 100 200 300400
−150 −100 −50 0 50 100 150
Position du détecteur ( µm)
# de molécules (/100s.)
100 200 300
0
