Probl` eme
Soit k ≥ 1 un entier. On pose ω =
−1+ı√4k−1
2
et on note A le sous-ensemble de C constitu´ es des ´ el´ ements de la forme a + bω avec a et b dans Z .
1) Montrer que A est un sous-anneau de C isomorphe ` a l’anneau quotient Z [X]/(X
2+ X + k). Montrer que le Z -module (groupe ab´ elien) sous-jacent
`
a A est libre de dimension 2 et que (1, ω) en est une base.
Soit x = a + bω un ´ el´ ement de A ; on pose N(x) = a
2− ab + k b
2.
2) Soit x un ´ el´ ement non nul de A. Montrer que N(x) est un entier sup´ erieur ou ´ egal ` a 1 et que le groupe ab´ elien sous-jacent ` a l’anneau quotient A/Ax est fini de cardinal N(x).
[Observer que l’applicationy7→yxest un endomorphisme duZ-module sous-jacent `a A.]
On note P le polynˆ ome X
2+ X + k de Z [X].
3) Soit p un nombre premier.
3.1) Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes : (i) Il existe un homomorphisme surjectif de A dans F
p.
(ii) Le polynˆ ome P (ou plutˆ ot sa r´ eduction modulo p) a une racine dans F
p. (iii) L’entier k est pair, pour p = 2 . La classe de l’entier 1 − 4k dans F
pest
un carr´ e, pour p > 2 .
Montrer que si l’anneau A est principal alors ces conditions sont encore
´
equivalentes ` a la suivante :
(iv) Il existe un ´ el´ ement x de A avec N(x) = p.
En d´ eduire que si l’anneau A est principal alors P (n) est un nombre premier pour tout entier n v´ erifiant 0 ≤ n < k − 1.
[Observer que l’on ak≤P(t)< k2 pour tout nombre r´eeltde l’intervalle [0, k−1[ si bien que si P(n) n’´etait pas un nombre premier alors P(n) admettrait un diviseur premier p avecp < k. Observer ´egalement que l’on a inf{a2−ab+kb2;a∈Z, b∈Z− {0}}=k.]
En d´ eduire de mˆ eme que si l’anneau A est principal alors 4k −1 est un nombre premier.
1
3.2) Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes : (i) L’anneau quotient A/pA (ou A/Ap) est un corps.
(ii) Le polynˆ ome P (ou plutˆ ot sa r´ eduction modulo p) n’a pas de racine dans F
p.
(iii) L’entier k est impair, pour p = 2 . La classe de l’entier 1 − 4k dans F
pn’est pas un carr´ e, pour p > 2.
Montrer que si ces conditions sont v´ erifi´ ees alors A/pA est un corps fini de caract´ eristique p. Quel est le cardinal de A/pA ? Quel est le degr´ e de l’extension F
p⊂ A/pA ?
4) On suppose dans cette question que k est choisi de telle sorte que l’anneau A soit principal.
Soit n ≥ 1 un entier. Soit C une matrice carr´ ee d’ordre n (c’est-` a-dire avec n lignes et n colonnes) ` a coefficients dans Z , telle que l’on a C
2+ C + k I = 0, I d´ esignant la matrice identit´ e d’ordre n.
Montrer que l’entier n est pair et qu’il existe une matrice Q carr´ ee d’ordre n
`
a coefficients dans Z , de d´ eterminant ±1, telle que l’on a
C = Q
J O O · · · O O J O · · · O O O J · · · O .. . .. . .. . . .. ...
O O O · · · J
Q
−1,
J d´ esignant ci-dessus le bloc
"
0 −k 1 −1
#
(qui apparaˆıt
n2fois sur la diagonale) et O le bloc
"
0 0 0 0
#
.
[Observer que la donn´ee deCfait deZnunA-module. Observer ´egalement qu’unA-module est sans torsion si et seulement si leZ-module sous-jacent est sans torsion puisquexdivise N(x) dansA, pour tout ´el´ement xdeA.]
5) Soit I un id´ eal non nul de A ; soit x un ´ el´ ement non nul de I.
5.1) Montrer que le Z -module sous-jacent ` a I est libre de dimension 2.
[Consid´erer l’inclusionAx⊂I.]
2
5.2) On note M le A-module quotient I/Ax .
Montrer que le groupe ab´ elien sous-jacent ` a M est fini.
Soit p un nombre premier, montrer que les deux conditions suivantes sont
´
equivalentes :
(i) p divise le cardinal de M ; (ii) le quotient M/pM est non nul.
On suppose que p divise le cardinal de M et que le polynˆ ome P n’a pas de racine dans F
p. Montrer que l’homomorphisme de A/pA-espaces vectoriels I/pI → M/pM est un isomorphisme.
[Montrer que la dimension duA/pA-espace vectorielI/pI est 1.]
En d´ eduire que l’on a x = py avec y ∈ I.
[Observer que le quotientM/pM s’identifie au quotientI/(pI+Ax).]
Montrer que l’on a
card(I/Ax) = p
2card(I/Ay) ,
la notation card(−) d´ esignant le cardinal d’un ensemble fini.
6) Soit n ≥ 2 un entier.
6.1) Soit (z
1, z
2, . . . , z
n) une suite de n nombres complexes, montrer qu’il existe deux indices distincts r et s et un ´ el´ ement q de A tels que l’on a
|z
s− z
r− q|
2≤ 1
4 + 4k − 1
4n
2.
[On pourra montrer qu’il existe deux indices distinctsretset un ´el´ementqdeAtels que l’on a
|=(zs−zr−q)| ≤
√4k−1
2n et |<(zs−zr−q)| ≤ 1
2 ,
<( ) et=( ) d´esignant respectivement la partie r´eelle et la partie imaginaire d’un nombre complexe. Pour montrer la premi`ere in´egalit´e, on pourra observer que pour tout indice t il existe un entierbt(uniquement d´etermin´e en fonction det) tel que l’on a
0≤ =(zt−btω)<
√4k−1
2 . ]
6.2) Soient x, y
1, y
2, . . . , y
ndes ´ el´ ements de A, x ´ etant non nul, montrer qu’il existe deux indices distincts r et s et un ´ el´ ement q de A tels que l’on a
N(y
s− y
r− qx)
N(x) ≤ 1
4 + 4k − 1
4n
2.
3
7) Soit I un id´ eal non nul de A. Montrer qu’il existe un ´ el´ ement non nul x de I tel que l’on a
card(I/Ax) ≤ E(
s
4k − 1
3 ) ,
la notation E(
q4k−13) d´ esignant la partie enti` ere de
q4k−13.
[Choisirxtel que l’on ait N(x)≤N(y) pour touty dansI− {0}et utiliser 6.2.]
8) Montrer que l’anneau A est principal pour k ≤ 3 . 9) Montrer que les conditions suivantes sont ´ equivalentes : (i) l’anneau A est principal ;
(ii) P (n) est un nombre premier pour tout entier n avec 0 ≤ n < k − 1 ; (iii) P (n) est un nombre premier pour tout entier n avec 0 ≤ n ≤ E(
q4k−13) ; (iv) le polynˆ ome P n’a pas de racine dans F
ppour tout nombre premier p
avec p ≤ E(
q4k−13) .
[Pour montrer l’implication (iv)⇒(i), utiliser les questions 5 et 7.]
En d´ eduire que l’anneau A est principal pour k = 1, 2, 3, 5, 11, 17, 41.
11. H. M. Stark [2] a montr´e qu’il n’existe pas d’autre valeur dekpour laquelle l’anneau Asoit principal. Il r´esolvait ainsi un probl`eme ouvert depuis Gauss [1].
[1]C. F. Gauss,Disquisitiones arithmeticae (1801), art. 303.
[2]H. M. Stark, A complete determination of the complex quadratic fields of class- number one,Michigan Math. J. 14(1967), pp. 1-27.
