(a) Toute extension finie d’un corps de caract´ eristique nulle est s´ eparable.

code UE : MMAT4020 code Scolar : MM020

Examen du lundi 2 mai 2011 Dur´ ee : 4 heures

Seul le polycopi´ e est autoris´ e

Exercice 1. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, et justifier votre r´ eponse.

(a) Toute extension finie d’un corps de caract´ eristique nulle est s´ eparable.

(b) Toute extension finie d’un corps de caract´ eristique nulle est normale.

(c) Toute extension finie d’un corps fini est s´ eparable.

(d) Toute extension finie d’un corps fini est normale.

(e) Toute extension quadratique est s´ eparable.

(f ) Toute extension quadratique est normale.

Exercice 2. Les questions a) et b) sont ind´ ependantes.

a) Soit α une racine du polynˆ ome X ³ − X − 4. On note K := Q(α).

i) Quel est le degr´ e de l’extension K/Q ? Quel est le rang du groupe des unit´ es ? ii) Calculer le discriminant de la famille (1, α, α ² ).

iii) Que peut-on en d´ eduire sur l’indice de Z[α] dans Z K ?

iv) Montrer que α + α ² 2 ∈ Z K .

v) Calculer Z _K et le discriminant D _K du corps K.

b) Soit β une racine du polynˆ ome X ³ − 3X ² + 10X − 5. On note L := Q(β ).

i) Quel est le degr´ e de l’extension L/Q ? Quel est le rang du groupe des unit´ es ? ii) Calculer le discriminant de la famille (1, β, β ² ).

iii) Calculer Z _L et le discriminant D _L du corps L.

Exercice 3. Soit G un groupe ab´ elien fini. Soit m le ppcm des ordres des ´ el´ ements de G (l’entier m est l’exposant du groupe G). Montrer que m est le plus petit entier strictement positif tel que x ^m = 1 pour tout x ∈ G. Montrer qu’il existe un ´ el´ ement de G d’ordre m.

Exercice 4. Soit k un corps et soit D ∈ k. On note M 2 (k) l’anneau des matrices carr´ ees 2 × 2 ` a coefficients dans k.

a) Montrer qu’il existe un unique homomorphisme d’anneaux ϕ de k[X ] dans M ₂ (k) qui envoie

α ∈ k sur

α 0

0 α

et X sur

0 D 1 0

.

Le noyau de ϕ est un id´ eal principal de k[X ] : en donner un g´ en´ erateur.

On note K = ϕ(k) et E = ϕ(k[X ]).

b) On suppose que D n’est pas un carr´ e dans k. Montrer que E est un corps, extension finie de K.

Quel est le degr´ e [E : K] de E sur K ?

c) On suppose qu’il existe d ∈ k tel que D = d ² . Montrer que l’anneau E n’est pas int` egre. Montrer plus pr´ ecis´ ement que E est isomorphe ` a l’anneau

( k[ε] avec ² = 0 si 2D = 0,

k × k si 2D 6= 0.

Exercice 5.

Soient t 1 et t 2 deux nombres r´ eels. On d´ esigne par G le sous–groupe Z(1, t 1 ) + Z(t 2 , 1), c’est–` a–dire

G =

(a + bt 2 , at 1 + b) ; (a, b) ∈ Z × Z .

En distinguant plusieurs cas d´ ependant de t 1 et t 2 , donner le rang ` de G, la dimension n de

l’espace vectoriel engendr´ e par G, d´ ecrire l’adh´ erence G de G dans R ² , dire si G est ferm´ e, donner

la dimension d du plus grand sous–espace vectoriel V de R ² contenu dans G, dire si G est dense

dans R ² et si G est discret.

Th´ eorie des nombres Michel Waldschmidt

code UE : MMAT4020 code Scolar : MM020

Examen du lundi 2 mai 2011 Dur´ ee : 4 heures

Solutions

Solution de l’exercice 1.

(a) Toute extension finie d’un corps de caract´ eristique nulle est s´ eparable : vrai (voir le polycopi´ e).

(b) Toute extension finie d’un corps de caract´ eristique nulle est normale : faux (voir l’exemple de l’extension Q( √

2)/Q dans le polycopi´ e).

(c) Toute extension finie d’un corps fini est s´ eparable : vrai (voir le polycopi´ e).

(d) Toute extension finie d’un corps fini est normale : vrai (voir le polycopi´ e).

(e) Toute extension quadratique est s´ eparable : faux (voir l’exemple de l’extension F ₂ (T )/F ₂ (T ² ) dans le polycopi´ e).

(f ) Toute extension quadratique est normale : vrai. Si un polynˆ ome aT ² + bT + c ∈ K[T ] de degr´ e 2 a une racine α dans le corps K, alors l’autre racine (−b/a) − α est aussi dans K.

Solution de l’exercice 2

a) i) Le polynˆ ome X ³ − X − 4 est irr´ eductible sur Z puisque se r´ eduction modulo 3 n’a pas de racine. Comme il est unitaire, ce polynˆ ome est irr´ eductible dans Q[X]. Un autre argument consiste

`

a dire qu’il est irr´ eductible sur Q car il est de degr´ e 3 et n’a pas de racine rationnelle (´ etant unitaire, une racine rationnelle serait un entier, qui devrait diviser le terme constant, donc ce serait ±1, ±2 ou ±4, or aucun de ces six nombres n’est racine). Donc [K : Q] = 3.

Le polynˆ ome X ³ − X − 4 a une racine r´ eelle et deux racines complexes conjugu´ ees, le nombre r 1

de plongements r´ eels est 1, le nombre 2r 2 de plongements complexes non r´ eels est 2, le rang du groupe des unit´ es r = r ₁ + r ₂ − 1 est donc 1.

ii) On note d _α := disc _Z (1, α, α ² ). On sait que d _α est ´ egal au discriminant du polynˆ ome X ³ −X −4, donc d _α = −4(−1) ³ − 27.(−4) ² = −428 = −4.107.

iii) Puisque 107 est un nombre premier, et puisque le carr´ e de l’indice de Z[α] dans Z _K divise d _α , cet indice divise 2. Donc il vaut 1 ou 2.

iv) On pose γ := α + α ²

2 . Alors γ ² = α ² + 3α + 4

2 et γ ³ = 2α ² +3α+4. Donc on a γ ³ −γ ² −3γ −2 = 0, donc γ ∈ Z K .

v) On a les inclusions suivantes : Z[α] ⊂ Z[α, γ] ⊂ Z K . Comme γ n’appartient pas ` a Z[α], il en r´ esulte que Z[α] est d’indice 2 dans Z[α, γ], donc la question c) assure que Z K = Z[α, γ]. En outre, on sait que d α = [Z K : Z[α]] ² D K , donc D K = −107.

b) i) On remarque que le polynˆ ome est irr´ eductible en v´ erifiant par exemple que sa r´ eduction modulo 2 n’a pas de racine. Donc [L : Q] = 3. Une autre solution consiste ` a v´ erifier que −1, 1,

−5 et 5 ne sont pas racines de ce polynˆ ome dans Q. Le polynˆ ome en question a une unique racine

r´ eelle et deux racines complexes conjugu´ ees, donc r 1 = r 2 = 1, par cons´ equent le th´ eor` eme des

unit´ es assure que le rang du groupe des unit´ es vaut r = r 1 + r 2 − 1 = 1.

ii) On note d β := disc Z (1, β, β ² ). On sait que d β est ´ egal au discriminant du polynˆ ome X ³ −3X ² + 10X − 5. Or ce polynˆ ome se r´ e´ ecrit sous la forme (X − 1) ³ + 7(X − 1) + 3, donc son discriminant est ´ egal au discriminant du polynˆ ome Y ³ + 7Y + 3, donc d β = −4.7 ³ − 27.3 ² = −1615. On peut aussi calculer ce discriminant en calculant les traces respectives des puissances de β .

iii) On remarque que le discriminant d _β = −1615 = −5.17.19, donc d _β est sans facteur carr´ e. Donc on en d´ eduit que Z _L = Z[β] et que D _L = −1615.

Solution de l’exercice 3.

Rappelons que l’ordre de x ∈ G est le g´ en´ erateur positif de l’id´ eal I x = {` ∈ Z ; x <sup>`</sup> = 1} de Z.

L’exposant de G est le g´ en´ erateur positif de l’id´ eal

{` ∈ Z ; x <sup>`</sup> = 1 pour tout x ∈ G} = \

x∈G

I x ,

c’est donc ` a la fois le ppcm des g´ en´ erateurs des I _x (donc le ppcm des ordres des ´ el´ ements de G) et le plus petit entier positif dans cet id´ eal (donc le plus petit entier m tel que x ^m = 1 pour tout x ∈ G).

D’autre part, un groupe ab´ elien fini est isomorphe ` a un produit de groupes cycliques dont les ordres a ₁ , . . . , a _s v´ erifient : a ₁ divise a ₂ ,. . . , a _s−1 divise a _s . Alors x ^a

= 1 pour tout x dans G, de plus G poss` ede au moins un ´ el´ ement d’ordre a s , donc l’exposant de G est a s .

Solution de l’exercice 4.

L’application φ de k dans M ₂ (k) qui envoie α ∈ k sur

α 0 0 α

est un homomorphisme d’anneaux. L’image de φ dans M 2 (k) est

K = φ(k) =

α 0 0 α

; α ∈ k

,

et φ induit un isomorphisme de corps k → K. Quand A est un anneau, k un corps, φ un ho- momorphisme de k dans A et γ un ´ el´ ement de A, il existe un unique homomorphisme d’an- neaux de k[X ] dans A qui prolonge φ et envoie X sur γ. D’o` u l’existence de l’homomorphisme ϕ recherch´ e, avec ϕ(k) = φ(k) = K. L’image par ϕ d’un polynˆ ome a 0 + a 1 X + · · · + a n X ⁿ est a 0 + a 1 ϕ(X) + · · · + a n ϕ(X) ⁿ avec

ϕ(X) = 0 D

1 0

. Comme cette matrice v´ erifie

ϕ(X ) ² = 0 D

1 0 2

=

D 0

0 D

= φ(D),

on a

ϕ(X ^2m ) = ϕ(X ² ) ^m = φ(D ^m ) =

D ^m 0

0 D ^m

et ϕ(X ^2m+1 ) = ϕ(X )ϕ(X ^2m ) =

0 D ^m+1 D ^m 0

.

Par cons´ equent l’image de ϕ est

E =

a bD b a

; (a, b) ∈ k × k

et le noyau de ϕ contient X ² − D. Comme ϕ(X ) 6∈ K, le noyau de ϕ ne contient pas de polynˆ ome de degr´ e 1, donc ker ϕ est l’id´ eal principal engendr´ e par X ² − D. On en d´ eduit que l’anneau E est isomorphe au quotient k[X ]/(X ² − D).

b) Si D n’est pas un carr´ e dans k, le polynˆ ome quadratique X ² − D est irr´ eductible dans k[X], donc E est un corps, extension quadratique de K, isomorphe ` a k( √

D).

c) Supposons D = d ² avec d ∈ k. L’anneau E n’est pas int` egre puisque

0 D 1 0

²

− d 0

0 d ²

=

0 D 1 0

− d 0

0 d

0 D

1 0

+ d 0

0 d

= 0 0

0 0

.

L’anneau E est isomorphe ` a k[X ]/(X −δ)(X +δ). Si les deux polynˆ omes X −δ et X +δ sont premiers entre eux, c’est–` a–dire si la caract´ eristique de k est diff´ erente de 2 et D 6= 0, alors par le th´ eor` eme des restes chinois k[X ]/(X − δ)(X + δ) est isomorphe au produit des quotients k[X ]/(X − δ) et k[X ](X + δ), et chacun de ces deux facteurs est isomorphe ` a k. Si au contraire X − δ et X + δ ne sont pas premiers entre eux, c’est–` a–dire si 2D = 0, alors X − δ = X + δ, donc

k[X ]/(X − δ)(X + δ) = k[X]/(X − δ) ² ,

et si on d´ esigne par la classe de X − δ, on conclut que E est isomorphe ` a k[ε] avec ² = 0.

Solution de l’exercice 5

Une condition n´ ecessaire et suffisante pour que G contienne une base de R ² est que (1, t ₁ ) et (t ₂ , 1) soient lin´ eairement ind´ ependants sur R, donc que le d´ eterminant

1 t 2

t 1 1

soit non nul, ce qui s’´ ecrit t ₁ t ₂ 6= 1.

Si t ₁ est rationnel non nul et t ₂ = 1/t ₁ , alors ` = 1, n = 1, G = G, G est ferm´ e, d = 0, G n’est pas dense dans R ² , G est discret.

Si t 1 est irrationnel et t 2 = 1/t 1 , alors ` = 2, donc n = 1, G = R(1, t 1 ), G n’est pas ferm´ e, d = 1, G n’est pas dense dans R ² , G n’est pas discret.

Si t 1 t 2 6= 1, alors ` = 2, n = 2, G = G, G est ferm´ e, d = 0, G n’est pas dense dans R ² , G est

discret : c’est un r´ eseau de R ² .