Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre et G´eom´etrie
Maˆıtrise de math´ematiques et informatique Ann´ee 2002-03
L. Merel - P. Perrin
EXAMEN PARTIEL du 4 d´ecembre 2003 Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
Soit n un entier ≥ 1. Soit ζ une racine primitive n-i`eme de l’unit´e dans C (c’est-`a-dire un ´el´ement d’ordrendeC∗). NotonsQ(ζ) le sous-corps deC engendr´e parζ. Soit P le polynˆome minimal deζ dans Q[X].
On note φ la fonction indicatrice d’Euler, i.e. φ(n) est l’ordre de (Z/nZ)∗. On rappelle que tout polynˆome unitaire de Q[X] divisant un polynˆome unitaire de Z[X] est lui-mˆeme dansZ[X]. On rappelle qu’un conjugu´e surQd’un nombre alg´ebriquex∈Cest un z´ero du polynˆome minimal dexdansQ[X].
I
1. Combien y a-t-il de racines primitivesn-i`emes de l’unit´e dansC∗ ? 2. Montrer queP divise le polynˆomeXn−1 et queP ∈Z[X].
3. Montrer que tout conjugu´e de ζ est une racine primitiven-i`eme de l’unit´e. En d´eduire que l’extension Q(ζ)|Qest de degr´e≤φ(n).
4. Montrer que toute racine primitiven-i`eme de l’unit´e est une puissance de ζ. En d´eduire que l’extension Q(ζ)|Qest normale.
5. Montrer que si pour tout entierm >0, premier `an,ζmest une racine deP, le polynˆomeP est de degr´e φ(n).
II Soitpun nombre premier ne divisant pasn.
1. Montrer que le polynˆomeXn−1∈Fp[X] n’a pas de racine double dans une clˆoture alg´ebrique deFp. 2. NotonsQ le polynˆome minimal deζp dansZ[X]. Montrer queζ est une racine deQ(Xp). En d´eduire queP diviseQ(Xp).
3. Montrer queQ(Xp)≡Q(X)p (modp).
4. Notons ¯P et ¯Qles images deP etQdansFp[X]. Montrer que ¯P diviseXn−1 dansFp[X]. En supposant queP 6=Q, montrer queP Q diviseXn−1, puis que ¯Q2 diviseXn−1∈Fp[X]. En d´eduire queP=Q.
5. D´emontrer, `a l’aide deI, queP est de degr´eφ(n).
III
Notons Gal(Q(ζ)/Q) le groupe de Galois de l’extensionQ(ζ)|Q.
1. Montrer que pour toutσ∈Gal(Q(ζ)/Q), il existeiσ∈Ztel queσ(ζ) =ζiσ.
2. Montrer que l’applicationσ7→iσ+nZd´efinit un isomorphisme de groupes Gal(Q(ζ)/Q)'(Z/nZ)∗. 3. Lorsquen= 125, d´emontrer qu’il existe une extension cycliqueK|Qde degr´e 4 telle queK⊂Q(ζ).
