Universit´e Paris 7-Denis Diderot Alg`ebre et G´eom´etrie
Licence de math´ematiques et informatique Ann´ee 2003-04
M. Fouquet, L. Merel
EXAMEN du 15 d´ecembre 2003
Dur´ee : 3 h
L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.
NotonsF2=Z/2Zle corps `a 2 ´el´ements. Soitnun entier≥1. PosonsPn=X2n+X+ 1∈F2[X].
Soitkun corps de d´ecomposition dePn,i.e. le polynˆomePn est scind´e surket le corpskest engendr´e parF2 et les racines dePn. C’est un corps fini contenantF2. NotonsEn l’ensemble des racines dePn dans k.
Lorsque q est une puissance d’un nombre premier p, on rappelle que le corps Fq est un corps de d´ecomposition du polynˆomeXq−X surFp =Z/pZ. On a de plus que Fq est pr´ecis´ement l’ensemble des racines du polynˆome Xq −X. On rappelle que tout corps fini `a q ´el´ements est isomorphe `a Fq, pour q puissance d’un nombre premierp. On identifie tout sous-corps dek`a l’un de ces corpsFq.
I
1. D´emontrer queP1n’a pas de racine dans F2. D´emontrer queP1est irr´eductible surF2. 2. D´emontrer que l’anneau quotientF2[X]/P1 est un corps `a quatre ´el´ements.
3. Soitα1une racine deP1. D´emontrer queF4=F2(α1).
4. D´emontrer qu’on a une applicationF2×E1 →E1 qui `a (x, α) associex+α, puis que cette application d´efinit une op´eration du groupeF2 surE1. En d´eduire queE1est une droite affine sur le corpsF2.
II
1. D´emontrer quekest un corps fini de caract´eristique 2, que tout ´el´ementxd’un sous-corpsFq dekv´erifie xq+x= 0, et enfin queFq ={x∈k/xq+x= 0}.
2. D´emontrer quePn n’a pas de racine multiple. Quel est le cardinal deEn ?
3. Soientαn,α0n∈En. D´emontrer quex=αn−α0n v´erifiex2n+x= 0. En d´eduire quex∈F2n. 4. D´emontrer queα2nn+αn6= 0. En d´eduire queαn n’appartient pas `aF2n.
5. D´emontrer queα2n2n+αn= 0. En d´eduire queαn appartient `aF22n. 6. En d´eduire queEn={αn+x/x∈F2n}, puis quek=F22n.
7. D´emontrer que le polynˆomePn divise le polynˆomeX22n+X dansF2[X].
8. Quels sont les degr´es des extensionsF22n|F2n et F22n|F2 ?
9. Le polynˆomeP2 est-il irr´eductible surF2 ? Le polynˆomePn est-il irr´eductible surF2 lorsquen >1 ? 10. Quelles sont les valeurs deqpour lesquelleskposs`ede un sous-corps `aq´el´ements ?